Question

16．設(shè)p：函數(shù)f（x）=log_ax（a＞0且a≠1）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；
q：關(guān)于x的不等式x²+x+a＞0恒成立．
若p或q為真命題，￢p或￢q也為真命題，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 對于命題p：利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性質(zhì)，可得a＞1；對于命題q：可得△＜0，解得a．由p或q為真命題，￢p或￢q也為真命題，可得p與q必然一真一假，即可得出．

解答 解：對于命題p：函數(shù)f（x）=log_ax（a＞0且a≠1）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，∴a＞1；
對于命題q：關(guān)于x的不等式x²+x+a＞0恒成立，∴△=1-4a＜0，解得a$＞\frac{1}{4}$．
∵p或q為真命題，￢p或￢q也為真命題，
∴p與q必然一真一假，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a＜1}\\{a＞\frac{1}{4}}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{a＞1}\\{a≤\frac{1}{4}}\end{array}\right.$，
解得$\frac{1}{4}＜a＜1$．或無解．
因此$\frac{1}{4}＜a＜1$．
故實數(shù)a的取值范圍是$（\frac{1}{4}，1）$．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、不等式的解法、簡易邏輯的判定方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．