Question

函數(shù)f（x）=ax³+bx²+cx+3-a，（a，b，c∈R，且a≠0）當(dāng)x=-1時(shí)，f（x）取得極大值2
（1）用關(guān)于a的代數(shù)式分別表示b與c．
（2）求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，由已知在x=-1處f（x）取得極大值2，代入可得方程組

f(1)=2 f′(1)=0

，進(jìn)一步得到a，b，c的關(guān)系．
（2）在（1）的基礎(chǔ)上得到函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)f^′（x）=3ax²+2（a+1）x+2-a，由已知要使函數(shù)f（x）有極大值需要對(duì)二次項(xiàng)系數(shù)a和極值點(diǎn)進(jìn)行討論，易得結(jié)論．

解答：解：（1）f′（x）=3ax²+2bx+c∴

f(-1)=2 f′(-1)=0

∴ b=a+1 c=2-a

（2）由（1）得f′(x)=3ax2+2(a+1)x+2-a=3a(x+1)(x-

a-2

3a

)
令f′（x）=0解得x₁=-1，x₂=

a-2

3a

∴要使f（x）極大值為f（-1）=2，則

a＞0 a-2 3a

＞-1或

a＜0 a-2 3a

＜-1
∴a＞

1

2

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，導(dǎo)數(shù)的幾何意義，以及利用導(dǎo)數(shù)解答函數(shù)的極值問(wèn)題．考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，綜合考查了函數(shù)的零點(diǎn)以及分類討論的數(shù)學(xué)思想．