Question

已知函數(shù)f（x）=ax+lnx（a∈R）．
（Ⅰ）若a=2，求曲線y=f（x）在x=1處切線的斜率；
（Ⅱ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅲ）設(shè)g（x）=x²-2x+2，若對任意x₁∈（0，+∞），均存在x₂∈[0，1]，使得f（x₁）＜g（x₂），求a的取值范圍．

Answer 1

解：（Ⅰ）由已知，則f'（1）=2+1=3．
故曲線y=f（x）在x=1處切線的斜率為3；
（Ⅱ）．
①當(dāng)a≥0時，由于x＞0，故ax+1＞0，f'（x）＞0
所以，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，+∞）．
②當(dāng)a＜0時，由f'（x）=0，得．
在區(qū)間上，f'（x）＞0，在區(qū)間上f'（x）＜0，
所以，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；
（Ⅲ）由已知，轉(zhuǎn)化為f（x）_max＜g（x）_max，
因為g（x）=x²-2x+2=（x-1）²+1，x∈[0，1]，
所以g（x）_max=2…（9分）
由（Ⅱ）知，當(dāng)a≥0時，f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，值域為R，故不符合題意．
當(dāng)a＜0時，f（x）在（0，-）上單調(diào)遞增，在（-，+∞）上單調(diào)遞減，
故f（x）的極大值即為最大值，f（-）=-1+ln（-）=-1-ln（-a），
所以2＞-1-ln（-a），解得a＜-．
分析：（Ⅰ）把a的值代入f（x）中，求出f（x）的導(dǎo)函數(shù)，把x=1代入導(dǎo)函數(shù)中求出的導(dǎo)函數(shù)值即為切線的斜率；
（Ⅱ）求出f（x）的導(dǎo)函數(shù)，分a大于等于0和a小于0兩種情況討論導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)，進而得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅲ）對任意x₁∈（0，+∞），均存在x₂∈[0，1]，使得f（x₁）＜g（x₂），等價于f（x）_max＜g（x）_max，分別求出相應(yīng)的最大值，即可求得實數(shù)a的取值范圍．
點評：此題考查學(xué)生會利用導(dǎo)數(shù)求曲線上過某點切線方程的斜率，會利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，掌握不等式恒成立時所滿足的條件，是一道中檔題．