Question

3．設(shè)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{4{x}^{3}+6{x}^{2}+2（x≤0）}\\{2{e}^{ax}（x＞0）}\end{array}\right.$在區(qū)間[-2，2]上最大值為4，則實數(shù)a的取值范圍為（　�。�

• A． [$\frac{1}{2}$ln2，+∞]
• B． [0，$\frac{1}{2}$ln2]
• C． （-∞，0]
• D． （-∞，$\frac{1}{2}$ln2]

Answer 1

分析 分別求出函數(shù)在-2≤x≤0和（0，2]的最大值，進行比較即可得到結(jié)論．

解答 解：當-2≤x≤0時f（x）=4x³+6x²+2，
則f′（x）=12x²+12x=12x（x+1），
由f′（x）＞0得-2＜x＜-1，
由f′（x）＜0得-1＜x＜0，
則當x=-1時，函數(shù)f（x）取得極大值，此時f（-1）=-4+6+2=4；
當x＞0時，f（x）=2e^ax，
若a=0，則f（x）=2＜4，
若a＜0，則函數(shù)f（x）在（0，2]上為減函數(shù)，則f（x）＜f（0）=2，此時函數(shù)的最大值小于4，
若a＞0，則函數(shù)在（0，2]為增函數(shù)，此時函數(shù)的最大值為f（2）=2e^2a，
要使f（x）在區(qū)間[-2，2]上最大值為4，則2e^2a≤4，即e^2a≤2，得2a≤ln2，則a≤$\frac{1}{2}$ln2，
綜上所述，a≤$\frac{1}{2}$ln2，
故選：D

點評 本題主要考查函數(shù)最值的應(yīng)用，根據(jù)分段函數(shù)的表達式分別求出對應(yīng)區(qū)間上的最大值，進行比較是解決本題的關(guān)鍵．