Question

10．已知函數(shù)f（x）=xlnx，g（x）=-x²+ax-3．
（1）求函數(shù)f（x）的圖象在點(diǎn)（1，0）處的切線方程；
（2）若對(duì)?x∈（0，+∞）有2f（x）≥g（x）恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）先求導(dǎo)數(shù)，計(jì)算f′（1），從而求出切線方程即可；
（2）分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題求解．

解答 解：（1）∵f′（x）=1+lnx，
∴f′（1）=1=k，
故切線方程是：y=x-1；
（2）由題意，不等式化為ax≤2xlnx+x²+3，因?yàn)閤＞0，
所以a≤2lnx+x+$\frac{3}{x}$，當(dāng)x＞0時(shí)恒成立．
令h（x）=2lnx+x+$\frac{3}{x}$，則h′（x）=$\frac{2}{x}$-$\frac{3}{{x}^{2}}$+1=$\frac{（x+3）（x-1）}{{x}^{2}}$，
當(dāng)0＜x＜1時(shí)，h′（x）＜0，x＞1時(shí)，h′（x）＞0，
所以h（x）在（0，1）上遞減，在（1，+∞）上遞增．
故h（x）_min=h（1）=2ln1+1+3=4．所以a≤4．
故所求a的范圍是（-∞，4]．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了不等式恒成立問題的解題思路，一般此類問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題來解．