Question

6．若直線y=kx+b（b＜0）是曲線y=e^x-2的切線，也是曲線y=lnx的切線，則b=-1 ．

Answer 1

分析 分別設(shè)出直線與兩曲線的切點(diǎn)坐標(biāo)，求出導(dǎo)數(shù)值，得到兩切線方程，由兩切線重合得答斜率和截距相等，從而求得切線方程得答案．

解答 解：設(shè)y=kx+b與y=e^x-2和y=lnx的切點(diǎn)分別為（x₁，${e}^{{x}_{1}-2}$）、（x₂，lnx₂）；
由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得k=${e}^{{x}_{1}-2}$=$\frac{1}{{x}_{2}}$，
曲線y=e^x-2在（x₁，${e}^{{x}_{1}-2}$）處的切線方程為y-${e}^{{x}_{1}-2}$=${e}^{{x}_{1}-2}$（x-x₁），
即y=${e}^{{x}_{1}-2}x+（1-{x}_{1}）{e}^{{x}_{1}-2}$，
曲線y=lnx在點(diǎn)（x₂，lnx₂）處的切線方程為y-$ln{x}_{2}=\frac{1}{{x}_{2}}（x-{x}_{2}）$，
即$y=\frac{1}{{x}_{2}}x+ln{x}_{2}-1$，
則$\left\{\begin{array}{l}{{e}^{{x}_{1}-2}=\frac{1}{{x}_{2}}}\\{（1-{x}_{1}）{e}^{{x}_{1}-2}=ln{x}_{2}-1}\end{array}\right.$，解得x₂=1．
∴切線方程為y=x-1，即b=-1．
故答案為：-1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究過曲線上某點(diǎn)處的切線方程，考查計(jì)算能力，是中檔題．