如圖,在半徑為、圓心角為的扇形金屬材料中剪出一個(gè)長方形,并且與的平分線平行,設(shè).
(1)試寫出用表示長方形的面積的函數(shù);
(2)在余下的邊角料中在剪出兩個(gè)圓(如圖所示),試問當(dāng)矩形的面積最大時(shí),能否由這個(gè)矩形和兩個(gè)圓組成一個(gè)有上下底面的圓柱?如果可能,求出此時(shí)圓柱的體積.
(1)(2).
【解析】
試題分析:(1)由條件得,
從而 4分
(2)由(1)得,
所以當(dāng)時(shí),即取得最大值,為 7分
此時(shí),,
所以為正方形,依題意知制成的圓柱底面應(yīng)是由圍成的圓,
從而由周長,得其半徑為. 11分
另一方面,如圖所示,設(shè)圓與邊切于點(diǎn),連結(jié),
.
設(shè)兩小圓的半徑為,則,
且,從而所以,
因,
所以能作出滿足條件的兩個(gè)圓.此時(shí)圓柱的體積.……………16分
考點(diǎn):本題主要考查三角函數(shù)模型,圓柱的體積計(jì)算,三角函數(shù)倍半公式。
點(diǎn)評:中檔題,結(jié)合圖形特征,利用直角三角形中的邊角關(guān)系,建立函數(shù)模型。確定函數(shù)最值過程中,可利用導(dǎo)數(shù)。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2014屆江蘇省高二上學(xué)期中考試數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題
(本小題滿分15分)
如圖,在半徑為的圓形(為圓心)鋁皮上截取一塊矩形材料,其中點(diǎn)在圓上,點(diǎn)、在兩半徑上,現(xiàn)將此矩形鋁皮卷成一個(gè)以為母線的圓柱形罐子的側(cè)面(不計(jì)剪裁和拼接損耗),設(shè)矩形的邊長,圓柱的體積為.
(1)寫出體積關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式,并指出定義域;
(2)當(dāng)為何值時(shí),才能使做出的圓柱形罐子體積最大?最大體積是多少?
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