Question

7．如圖，點ABC都在⊙O上，過點C的切線交AB的延長線于點D，若AB=5，BC=3，CD=6，則線段AC的長為（　�。�

• A． $\frac{3}{2}$
• B． $\frac{9}{2}$
• C． $\frac{3}{2}$
• D． $\frac{7}{2}$

Answer 1

分析 根據(jù)圓的切線和割線，利用切割線定理得到與圓有關(guān)的比例線段，代入已知線段的長度求出DB的長，根據(jù)三角形的兩個角對應(yīng)相等，得到兩個三角形全等，對應(yīng)線段成比例，得到要求的線段的長度．

解答 解：∵過點C的切線交AB的延長線于點D，
∴DC是圓的切線，DBA是圓的割線，
根據(jù)切割線定理得到DC²=DB•DA，
∵AB=5，CD=6，
∴36=DB（DB+5）
∴DB=4，
由題意知∠D=∠D，∠BCD=∠A
∴△DBC∽△DCA，
∴$\frac{DC}{DA}=\frac{BC}{CA}$
∴AC=$\frac{3×9}{6}$=4.5，
故選：B．

點評 本題考查與圓有關(guān)的比例線段，考查三角形的相似的判定定理與性質(zhì)定理，本題解題的關(guān)鍵是根據(jù)圓中的比例式，代入已知線段的長度求出未知的線段的長度，本題是一個基礎(chǔ)題．