Question

現(xiàn)有編號為1，2，3，4，5的五個(gè)球和編號為1，2，3，4，5的五個(gè)盒子，現(xiàn)將這五個(gè)球放入5個(gè)盒子內(nèi)．（1）若每個(gè)盒子都有球，但球的編號與盒子編號完全不相同，則不同的投放方法有

44

種；
（2）若恰有一個(gè)盒子空著，有

1200

種投放方法；
（3）若每個(gè)盒子內(nèi)投放一球，并且至少有兩個(gè)球的編號與盒子的編號是相同的，有

31

種投放方法．（用數(shù)字作答）

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意，要求五個(gè)球的編號與盒子編號全不同，是完全亂序問題，由公式直接計(jì)算即可；
（2）首先選定兩個(gè)不同的球，看作一個(gè)球，與其他的4個(gè)球，投入5個(gè)盒子中，分別計(jì)算每一步的情況數(shù)目，由分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案；
（3）先求每個(gè)盒子內(nèi)投放一球的放法，再分情況求不合要求的放法，①恰有一球相同的放法，②五個(gè)球的編號與盒子編號全不同的放法，兩者想減即可得答案．

解答：解：（1）要求五個(gè)球的編號與盒子編號全不同，是完全亂序問題，
則其不同的放法有A₅⁵（

1

A 2 2

-

1

A 3 3

+

1

A 4 4

-

1

A 5 5

）=44個(gè)；
（2）首先選定兩個(gè)不同的球，看作一個(gè)球，選法有C₅²=10種，
再把“空”當(dāng)作一個(gè)球，共計(jì)5個(gè)“球”，投入5個(gè)盒子中，有A₅⁵=120種投放法．
∴共計(jì)有10×120=1200種方法．
（3）若每個(gè)盒子內(nèi)投放一球，有A₅⁵=120種，
不滿足條件的情形有2類，①、恰有一球相同的放法：C₅¹×9=45，
②、五個(gè)球的編號與盒子編號全不同，由（1）可得有44種；
則共有120-45-44=31種；
故答案為（1）44，（2）1200，（3）31．

點(diǎn)評：本題考查排列、組合的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是明確如何滿足題意的限制條件．