Question

如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥BC，BC⊥BC₁，AB=BC₁，E、F、G分別是線段AC₁、A₁C₁、BB₁的中點，求證：
（1）EF∥平面BCC₁B₁；
（2）平面EFGB⊥平面AB₁C₁．

Answer 1

分析：（1）由題意易證EF∥BB₁，利用線面垂直的判定定理即可證明結(jié)論；
（2）可先證明BE⊥平面AB₁C₁，再利用平面與平面垂直的判定定理即可證明平面EFGB⊥平面AB₁C₁．

解答：解：（1）因為E，F(xiàn)分別為線段AC₁，A₁C₁的中點，所以EF∥AA₁，
又因為BB₁∥AA₁，所以EF∥BB₁，…（2分）
又因為EF?平面BCC₁B₁，所以EF∥平面BCC₁B₁…（6分）
（2）因為AB⊥BC，BC⊥BC₁，且AB∩C₁B=B，
所以BC⊥平面ABC₁…（8分）
又因為BE?平面ABC₁，所以BC⊥BE，
又因為BC∥B₁C₁，所以BE⊥B₁C₁…（10分）
因為AB=BC₁，E為AC₁的中點，所以BE⊥AC₁，
因為AC₁∩B₁C₁=C₁，所以BE⊥平面AB₁C₁…（12分）
又因為BE?平面EFGB，所以平面EFGB⊥平面AB₁C₁…（14分）

點評：本題考查直線與平面垂直的判定與平面與平面垂直的判定，關(guān)鍵在于熟練掌握直線與平面垂直的判定與平面與平面垂直的判定定理，并靈活地轉(zhuǎn)化與運用，屬于中檔題．