Question

如圖，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是棱BC的中點(diǎn)，F(xiàn)是棱A₁D₁的中點(diǎn)．
（Ⅰ）證明：C D₁∥平面B₁EDF；
（Ⅱ）求直線A₁C與DE所成的角；
（Ⅲ）求二面角B₁-ED-C的大�。�

Answer 1

分析：（Ⅰ）只需證明C D₁∥EF即可，而四邊形FECD₁易證為平行四邊形，則問(wèn)題得證．
（Ⅱ）建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體棱長(zhǎng)為1，則點(diǎn)A₁、C、D、E的坐標(biāo)易于表示，進(jìn)而求出

DE

、

CA1

的坐標(biāo)，再得兩向量夾角，最后得直線A₁C與DE所成的角．
（Ⅲ）在（Ⅱ）建立的空間直角坐標(biāo)系中，找到平面EDC的一個(gè)法向量

AA1

，且坐標(biāo)易得，再設(shè)出平面B₁EDF的一個(gè)法向量

m

，進(jìn)而利用垂直關(guān)系得到滿足要求的一個(gè)法向量，則由兩法向量的夾角可求得二面角B₁-ED-C的大�。�

解答：（Ⅰ）證明：E是BC的中點(diǎn)，F(xiàn)是A₁D₁的中點(diǎn)，連接EF，
∴有平行四邊形FECD₁，∴D₁C∥EF，
∵D₁C?平面B₁EDF，EF?平面B₁EDF，
∴CD₁∥平面B₁EDF．

（Ⅱ）解：如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB、AD、AA₁分別為為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，
由題意：設(shè)正方體棱長(zhǎng)為1，則D（0，1，0），E（1，

1

2

，0），C（1，1，0），A₁（0，0，1）
∴

DE

=(1，-

1

2

，0)，

CA1

=(-1，-1，1)，
設(shè)直線A₁C與DE所成的角為θ，
∴cosθ=|cos?

DE

，

CA1

?|=

1 2

| 12+(- 1 2 )2+02 |•| (-1)2+(-1)2+12 |

=

15

15

，
∴θ=arccos

15

15

．

（Ⅲ）解：由已知易知

AA1

為平面EDC的一個(gè)法向量，

AA1

=(0，0，1)．
設(shè)

m

=(x，y，z)為平面B₁EDF的一個(gè)法向量，

B1E

=(0，

1

2

，-1)，

B1D

=(-1，1，-1)．

m • B1E =0 m • B1D =0

，∴

y 2 -z=0 -x+y-z=0

，∴

y=2z x=z

，
∴

m

=(z，2z，z)，
令z=1，

m

=(1，2，1)，設(shè)

m

和

AA1

成角為θ，二面角B₁-ED-C為α．
cosθ=

1

12+22+1 • 12

=

6

6

，由題可知，二面角B₁-ED-C為鈍角，
α=arccos(-

6

6

)或α=π-arccos

6

6

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查線面平行的判定及向量法解決立體幾何的計(jì)算問(wèn)題．