Question

某企業(yè)為擴(kuò)大生產(chǎn)規(guī)模，今年年初新購置了一條高性能的生產(chǎn)線，該生產(chǎn)線在使用過程中的設(shè)備維修、燃料和動力等消耗的費(fèi)用（稱為設(shè)備的低劣化值）會逐年增加，第一年設(shè)備低劣化值是4萬元，從第二年到第七年，每年設(shè)備低劣化值均比上年增加2萬元，從第八年開始，每年設(shè)備低劣化值比上年增加25%．
（1）設(shè)第n年該生產(chǎn)線設(shè)備低劣化值為a_n，求a_n的表達(dá)式；
（2）若該生產(chǎn)線前n年設(shè)備低劣化平均值為A_n，當(dāng)A_n達(dá)到或超過12萬元時(shí)，則當(dāng)年需要更新生產(chǎn)線，試判斷第幾年需要更新該生產(chǎn)線，并說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用

專題：應(yīng)用題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（I）當(dāng)n≤7時(shí)，數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為4，公差為2的等差數(shù)列；當(dāng)n≥8時(shí)，數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為a₇，公比為

5

4

的等比數(shù)列，故可求n年該生產(chǎn)線設(shè)備低劣化值為a_n的表達(dá)式；
（2）設(shè)S_n表示數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，由等差及等比數(shù)列的求和公式得S_n，該生產(chǎn)線前n年設(shè)備低劣化平均值為A_n為增數(shù)列，從而可求第9年初需要更新該生產(chǎn)線．

解答： 解：（1）當(dāng)n≤7時(shí)，數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為4，公差為2的等差數(shù)列，a_n=4+2（n-1）=2n+2；
當(dāng)n≥8時(shí)，數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為a₇，公比為

5

4

的等比數(shù)列，又a₇=16，∴a_n=16×（

5

4

）^n-7
∴a_n的表達(dá)式為a_n=

2n+2，n≤7 16×( 5 4 )n-7，n≥8

；
（II）設(shè)S_n表示數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，由等差及等比數(shù)列的求和公式得
當(dāng)1≤n≤7時(shí)，S_n=4n+n（n-1）=n²+3n…（8分）
當(dāng)n≥8時(shí)，由S₇=70，S_n=S₇+16×

5

4

×

1-( 5 4 )n-7

1- 5 4

=80×（

5

4

）^n-7-10．
A_n=

Sn

n

，當(dāng)1≤n≤7時(shí)，{A_n}為增數(shù)列，
當(dāng)n≥8時(shí)，∵A_n+1-A_n=

80•( 5 4 )n-7•( n 4 -1)+10

n(n+1)

＞0，{A_n}也為增數(shù)列，
又∵A₇=10＜12，A₈=11.25＜12，A₉≈12.78＞12，
則第9年初需要更新該生產(chǎn)線．

點(diǎn)評：本題以實(shí)際問題為載體，考查數(shù)列模型的構(gòu)建，考查數(shù)列的通項(xiàng)及求和公式的運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是構(gòu)建等差數(shù)列、等比數(shù)列模型．