Question

將如圖所示的三角形數(shù)陣中的數(shù)按從小到大的順序排列：1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，…，記為數(shù)列{a_n}，記數(shù)列{a_n}前2k²（k∈N₊）項的和為b_k，可以推測：
（Ⅰ）b₃=

73

； 
（Ⅱ）b_k=

1

6

（2k-1）•2k•（4k-1）+2k²

．（用k表示）

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題設(shè)條件及圖可得出b₃=S 2×32=S₁₈，由此可列舉出三角形數(shù)1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，5，5，5，5，5，6，6，6．從而可得結(jié)論；
（II）由于b_k=S 2k2，表示數(shù)列{a_n}的前2k²項和．由如圖所示的三角形數(shù)陣知，它的前2k-1行一共有1+2+3+…+（2k-1）=k（2k-1）項，第2k行的數(shù)正好是2k個數(shù)2k，由此可得結(jié)論．

解答：解：（I）由題設(shè)條件可以得出，
b₃=S 2×32=S₁₈=1+2+2+3+3+3+4+4+4+4+5+5+5+5+5+6+6+6=1+2×2+3×3+4×4+5×5+6×3=73；
（II）由如圖所示的三角形數(shù)陣知，它的前2k-1行一共有1+2+3+…+（2k-1）=k（2k-1）項，第2k行的數(shù)正好是2k個數(shù)2k，
故b_k=S 2k2
=1+2+2+3+3+3+4+…+（2k-1）+（2k-1）+…+（2k-1）+2k+2k+…+2k（其中2k共有k項）
=1+2²+3²+…+（2k-1）²+2k×k
=

1

6

（2k-1）•2k•（4k-1）+2k²
故答案為：73；

1

6

（2k-1）•2k•（4k-1）+2k²．

點評：本題考查數(shù)列的遞推關(guān)系，數(shù)列的表示及歸納推理，解題的關(guān)鍵是由題設(shè)得出b_k表示數(shù)列{a_n}的前2k²項和，由此利用特殊數(shù)列的求和公式求解．