分析 (1)根據(jù)抽象函數(shù)的關(guān)系,利用賦值法進行求解.
(2)令x=kn,則f(kn)+f(n−kn)=2,利用倒序相加法進行求和,結(jié)合等差數(shù)列的定義進行證明.
(3)求出數(shù)列{bn}的通項公式,根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系進行轉(zhuǎn)化求解即可.
解答 解:(1)f(x)對任意x∈R都有f(x)+f(1-x)=2.
∴當(dāng)x=12時,f(12)+f(1-12)=2=2f(12).
則f(12)=1,
令x=1n,則f(1n)+f(1-1n)=2,即f(1n)+f(n−1n)=2,
(2)證明:f(x)對任意x∈R都有f(x)+f(1-x)=2.
則令x=kn,則f(kn)+f(n−kn)=2,
∵an=f(0)+f(1n)+f(2n)+…+f(n−1n)+f(1),
∴an=f(1)+f(n−1n)+f(n−2n)+…+f(1n)+f(0),
則兩式相加得2an=[f(0)+f(1)]+[f(1n)+f(n−1n)]+…+f(n−2n)+…+[f(1)+f(0)]=2(n+1),
則an=n+1,
則an+1-an=n+2-(n+1)=1,為常數(shù),
∴{an}是等差數(shù)列.
(3)bn=1an−1=1n,則易知T2n-Tn=1n+1+1n+2+1n+3+…+12n=f(n),
則f(n+1)-f(n)=1n+2+1n+3+…+12n+2-1n+1-1n+2-1n+3-…-12n=12n+1+12n+2-1n+1=12n+1-12n+2>0
所以f(n)單調(diào)遞增.
所以T2n-Tn≥f(2)=13+14=712,
故712>712(1+loga+1x−logax)
所以loga+1x<logax,
于是lgxlg(a+1)<lgxlga,(a>0,lga>0)恒成立
于是x>1.
點評 本題主要考查抽象函數(shù)以及數(shù)列和不等式的綜合以及不等式恒成立問題,利用賦值法以及轉(zhuǎn)化法是解決本題的關(guān)鍵.綜合性較強,運算量較大,有一定的難度.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | \frac{π}{8} | B. | \frac{π}{6} | C. | \frac{π}{4} | D. | \frac{π}{3} |
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A. | 84,84 | B. | 84,85 | C. | 85,84 | D. | 85,85 |
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