Question

已知等差數(shù)列{a_n}為遞增數(shù)列，且a₂，a₅是方程x²-12x+27=0的兩根，數(shù)列{b_n}的前n項和Tn=1-

1

2

bn．
（1）分別寫出數(shù)列{a_n}和{b_n}的通項公式；
（2）記c_n=a_n+1b_n+1，求證：數(shù)列{c_n}為遞減數(shù)列．

Answer 1

分析：（1）通過解二次方程求出方程的兩個根，據(jù)數(shù)列{a_n}為遞增數(shù)列為遞增數(shù)列，求出a₂，a₅，利用等差數(shù)列的通項公式求出
數(shù)列{a_n}的公差，利用等差數(shù)列推廣的通項公式求出其通項，利用數(shù)列{b_n}的前n項和與通項的關系求出數(shù)列{b_n}的通項．
（2）求出數(shù)列{c_n}的通項，求出c_n+1-c_n的差，判斷出差的符號，得證．

解答：解：（1）由題意得a₂=3，a₅=9
公差d=

a5-a2

5-2

=2
所以a_n=a₂+（n-2）d=2n-1
由Tn=1-

1

2

bn得
當n=1時b1=

2

3

當n≥2時bn=Tn-Tn-1=

1

2

bn-1-

1

2

bn
得bn=

1

3

bn-1
所以bn=

2

3n

（2）由（1）得cn=

4n+2

3n+1

∴cn+1-cn=

4n+6

3n-1

-

4n+2

3n+1

=

-8n

3n+2

＜0
數(shù)列{c_n}減數(shù)列

點評：解決等差、等比兩個特殊數(shù)列，常利用等差、等比兩個數(shù)列的通項公式及前n項和公式，列出關于基本量的方程組，解方程組求解．