Question

已知正方形ABCD到的頂點(diǎn)A、B在拋物線y²=x上，頂點(diǎn)C、D在直線y=x+4上，求正方形的邊長．

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線的簡單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：設(shè)直線AB的方程為y=kx+b，根據(jù)直線AB與CD平行，利用兩平行直線間的距離公式，得|BC|的表達(dá)式，聯(lián)立直線AB與拋物線方程，消去y，得到關(guān)于x的一元二次方程，利用韋達(dá)定理及弦長公式，得|AB|的表達(dá)式，由|BC|=|AB|，得b的值，代入弦長公式或平行直線間的距離公式中，即得正方形的邊長．

解答： 解：∵AB∥CD，由CD的方程y=x+4，
可設(shè)直線AB的方程為y=kx+b，A，B的坐標(biāo)分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），如右圖所示．
聯(lián)立y²=x，消去y，整理得x²+（2b-1）x+b²=0，
由韋達(dá)定理，得

x1+x2=1-2b x1x2=b2

，
由弦長公式，得|AB|=

2

•

(x1+x2)2-4x1x2

=

2

•

(1-2b)2-4b2

=

2

•

1-4b

由題意，得直線AB與直線CD間的距離d=|BC|，
即

|b-4|

2

=

2

•

1-4b

，兩邊平方，化簡、整理，得b²+8b+12=0，從而b=-2，或b=-6．
當(dāng)b=-2時(shí)，|AB|=

2

•

1-4(-2)

=3

2

，當(dāng)b=-6時(shí)，|AB|=

2

•

1-4(-6)

=5

2

，
即正方形ABCD的邊長為3

2

或5

2

．

點(diǎn)評：本題考查了直線與拋物線的相交關(guān)系，兩直線的平行關(guān)系，解決此類問題的一般步驟是：
（1）設(shè)直線方程及交點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）聯(lián)立直線方程與圓錐曲線方程，根據(jù)題設(shè)條件進(jìn)行變形、化簡，得等量關(guān)系；
（3）求解參數(shù)．