分析:(1)由題意知S
1=-a
1-1+2=a
1,
a1=,
an=Sn-Sn-1=-an+an-1+()n-1所以2
na
n=2
n-1a
n-1+1,b
n=b
n-1+1,再由b
1=2a
1=1,知數(shù)列b
n是首項(xiàng)和公差均為1的等差數(shù)列.于是b
n=1+(n-1)•1=n=2
na
n,所以
an=(2)
cn=an=(n+1)()n,
Tn=2×+3×()2++(n+1)×()n,利用錯(cuò)位相減求和法可知
Tn=3-Tn-=3--=,于是確定T
n與
的大小關(guān)系等價(jià)于比較2
n與2n+1的大。孪氘(dāng)n=1,2時(shí),2
n<2n+1,當(dāng)n≥3時(shí),2
n>2n+1.然后用數(shù)學(xué)歸納法證明.
解答:解:(1)在
Sn=-an-()n-1+2(n∈N*)中,令n=1,可得S
1=-a
1-1+2=a
1,即
a1=當(dāng)n≥2時(shí),
Sn-1=-an-1-()n-2+2所以
an=Sn-Sn-1=-an+an-1+()n-1所以
2an=an-1+()n-1,即2
na
n=2
n-1a
n-1+1
因?yàn)閎
n=2
na
n,所以b
n=b
n-1+1,即當(dāng)n≥2時(shí),b
n-b
n-1=1
又b
1=2a
1=1,所以數(shù)列b
n是首項(xiàng)和公差均為1的等差數(shù)列
于是b
n=1+(n-1)•1=n=2
na
n,所以
an=(2)由1)得
cn=an=(n+1)()n所以
Tn=2×+3×()2+…+(n+1)×()n①
Tn=2×()2+3×()3++n•()n+(n+1)•()n+1②
由①-②得
Tn=-所以
Tn=3-Tn-=3--=于是確定T
n與
的大小關(guān)系等價(jià)于比較2
n與2n+1的大。
猜想當(dāng)n=1,2時(shí),2
n<2n+1,當(dāng)n≥3時(shí),2
n>2n+1
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明:
當(dāng)n=3時(shí),顯然成立
假設(shè)當(dāng)n=k(k≥3)時(shí),2
k>2k+1成立
則當(dāng)n=k+1時(shí),2
k+1=2•2
k>2(2k+1)=4k+2=2(k+1)+1+(2k-1)>2(k+1)+1
所以當(dāng)n=k+1時(shí),猜想也成立.
于是,當(dāng)n≥3,n∈N
*時(shí),2
n>2n+1成立
綜上所述,當(dāng)n=1,2時(shí),
Tn<,
當(dāng)n≥3時(shí),
Tn> 點(diǎn)評(píng):本題考查當(dāng)數(shù)列的綜合運(yùn)用,難度較大,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意挖掘隱含條件,解題時(shí)要注意數(shù)學(xué)歸納法的解題過程.