Question

已知定義域為R的偶函數(shù)f（x）=a^x+b•a^-x（a＞0，a≠1，b∈R）．
（1）求實數(shù)b的值；
（2）判斷并證明f（x）的單調(diào)性；
（3）若對任意x∈[2，4]恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

解：（1）由題意可得，f（-x）=f（x），可得 a^-x+b•a^x =a^x+b•a^-x ，∴（b-1）（a^x-a^-x）=0，解得 b=1．…（3分）
（2）設(shè)0≤x₁＜x₂，∵=
==，
當(dāng)a＞1時，，可得f（x₁）＜f（x₂），故f（x）為[0，+∞）上的增函數(shù)．
當(dāng)a＜1時，，可得f（x₁）＜f（x₂），f（x）為[0，+∞）上的增函數(shù)．
綜上可得，當(dāng)a＞0，a≠1時，f（x）為[0，+∞）上的增函數(shù)．…（7分）
（3）對任意x∈[2，4]恒成立，等價于 對任意x∈[2，4]恒成立，
等價于 對任意x∈[2，4]恒成立，
等價于對任意x∈[2，4]恒成立．
令t=log₂x，問題等價于-t²+3t-1≤m≤t²+t+1對任意t∈[1，2]恒成立．
由于函數(shù)-t²+3t-1在[1，2]上的最大值為，t²+t+1在[1，2]上的最小值為 3，
故問題等價于 ，故實數(shù)m的取值范圍為[，3]．…（12分）
分析：（1）由題意可得，f（-x）=f（x），化簡可得（b-1）（a^x-a^-x）=0，由此解得 b的值．
（2）設(shè)0≤x₁＜x₂，化簡f（x₁）-f（x₂）為 ，當(dāng)a＞1時，可得f（x₁）＜f（x₂），故f（x）為[0，+∞）上的增函數(shù)．當(dāng)a＜1時，可得
f（x₁）＜f（x₂），f（x）為[0，+∞）上的增函數(shù)．
（3）條件等價于對任意x∈[2，4]恒成立．令t=log₂x，等價于-t²+3t-1≤m≤t²+t+1對任意t∈[1，2]恒成立，求得-t²+3t-1在[1，2]上的最大值和 t²+t+1在[1，2]上的最小值，即可求得實數(shù)m的取值范圍．
點評：本題主要考查函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性，對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用，以及函數(shù)的恒成立問題，屬于中檔題．