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16.雙曲線x2a2y2b2=1(a>0,b>0)中,F(xiàn)2為其右焦點(diǎn),A1為其左頂點(diǎn),點(diǎn)B(0,b),若以A1F2為直徑的圓經(jīng)過A1B的中點(diǎn),則此雙曲線的離心率為1+3

分析 由題意可得A1(-a,0),F(xiàn)2(c,0),B(0,b),設(shè)A1B的中點(diǎn)為M,求得中點(diǎn)的坐標(biāo),以A1F2為直徑的圓經(jīng)過A1B的中點(diǎn)M,
可得MF2⊥MA1,即有kMF2kMA1=-1,運(yùn)用斜率公式,結(jié)合a,b,c的關(guān)系和離心率公式,化簡(jiǎn)整理計(jì)算即可得到所求值.

解答 解:由題意可得A1(-a,0),F(xiàn)2(c,0),B(0,b),
設(shè)A1B的中點(diǎn)為M,可得M(-a22),
以A1F2為直徑的圓經(jīng)過A1B的中點(diǎn)M,
可得MF2⊥MA1,即有kMF2kMA1=-1,
可得2a2c\frac{\frac{2}}{-\frac{a}{2}+a}=-1,
即為b2=a2+2ac,由b2=c2-a2,
可得c2-2a2-2ac=0,
由e=ca,可得e2-2e-2=0,
解得e=1+3(負(fù)的舍去),
故答案為:1+3

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的離心率的求法,注意運(yùn)用直徑所對(duì)的圓周角為直角,由兩直線垂直的條件:斜率之積為-1,考查運(yùn)算能力,屬于中檔題.

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