Question

（2013•南開區(qū)二模）如圖，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂是雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點(diǎn)，過F₁的直線l與C的左、右兩支分別交于A，B兩點(diǎn)．若|AB|：|BF₂|：|AF₂|=3：4：5，則雙曲線的離心率為（　　）

• A．

  13

• B．

  15

• C．2
• D．

  3

Answer 1

分析：根據(jù)雙曲線的定義可求得a=1，∠ABF₂=90°，再利用勾股定理可求得2c=|F₁F₂|，從而可求得雙曲線的離心率．

解答：解：∵|AB|：|BF₂|：|AF₂|=3：4：5，不妨令|AB|=3，|BF₂|=4，|AF₂|=5，
∵|AB|²+|BF2|2=|AF2|2，
∴∠ABF₂=90°，
又由雙曲線的定義得：|BF₁|-|BF₂|=2a，|AF₂|-|AF₁|=2a，
∴|AF₁|+3-4=5-|AF₁|，
∴|AF₁|=3．
∴|BF₁|-|BF₂|=3+3-4=2a，
∴a=1．
在Rt△BF₁F₂中，|F1F2|2=|BF1|2+|BF2|2=6²+4²=52，又|F1F2|2=4c²，
∴4c²=52，
∴c=

13

．
∴雙曲線的離心率e=

c

a

=

13

．
故選A．

點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，求得a與c的值是關(guān)鍵，考查轉(zhuǎn)化思想與運(yùn)算能力，屬于中檔題．