設(shè)數(shù)列{an}是首項(xiàng)為1,公差為2的等差數(shù)列,對(duì)每一個(gè)k∈N*,在ak與ak+1之間插入2k-1個(gè)2,得到新數(shù)列{bn},設(shè)An、Bn分別是數(shù)列{an}和{bn}的前n項(xiàng)和.
(1)a10是數(shù)列{bn}的第幾項(xiàng);
(2)是否存在正整數(shù)m,使Bm=2010?若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由;否則,求出m的值;
(3)設(shè)am是數(shù)列{bn}的第f(m)項(xiàng),試比較:Bf(m)與2Am的大小,請(qǐng)?jiān)敿?xì)論證你的結(jié)論.
分析:(1)因?yàn)樵跀?shù)列{bn}中,對(duì)每一個(gè)K∈N*,在ak與ak+1之間有2k-1個(gè)2,所以a10在數(shù)列{bn}中的項(xiàng)數(shù)為:10+1+2+4+…+28 故問(wèn)題得解;
(2)先根據(jù)條件求出am及其前面所有項(xiàng)之和的表達(dá)式2n+n2-2,再根據(jù)210+102-2=1122<2010<211+112-2,即可找到滿足條件的m的值;
(3)由(2)知Bf(m)=2m+m2-2又Am=1+3+5+…+(2m-1)=m2,要比較Bf(m)與2Am的大小,作差,再進(jìn)行討論即可.
解答:解:(1)在數(shù)列{b
n}中,對(duì)每一個(gè)K∈N
*,
在a
k與a
k+1之間有2
k-1個(gè)2,∴a
10在數(shù)列{b
n}中的項(xiàng)數(shù)為:10+1+2+4+…+2
8 …(2分)
=
10+=521即a10是數(shù)列{bn}中第521項(xiàng) …(3分)
(2)a
n=1+(n-1)•2=2n-1,在數(shù)列{b
n}中,a
n及其前面所有項(xiàng)的和為:[1+3+5+…+(2n-1)]+(2+4+…+2
n-1)=
n2+=2n+n2-2…(5分)
∵2
10+10
2-2=1122<2010<2
11+11
2-2
且2010-1122=888=444×2
∴存在m=521+444=965,使得B
m=2010…(8分)
(3)由(2)知B
f(m)=2
m+m
2-2又A
m=1+3+5+…+(2m-1)=m
2∴B
f(m)-2A
m=(2
m+m
2-2)-2m
2=2
m-(m
2+2)…(10分)
當(dāng)m=1時(shí),2
m=2,m
2+2=3,故2
m<m
2+2;
當(dāng)m=2時(shí),2
m=4,m
2+2=6,故2
m<m
2+2;
當(dāng)m=3時(shí),2
m=8,m
2+2=11,故2
m<m
2+2;
當(dāng)m=4時(shí),2
m=16,m
2+2=18,故2
m<m
2+2; …(12分)
當(dāng)
m≥5時(shí),2m=1+++…+++1≥2(1+m+)因而當(dāng)m=1,2,3,4時(shí),B
f(m)<2A
m;
當(dāng)m≥5時(shí)且m∈N
*時(shí),B
f(m)>2A
m…(14分)
點(diǎn)評(píng):本題綜合考查了數(shù)列與函數(shù)的知識(shí).解決第(2)問(wèn)的關(guān)鍵在于求出am及其前面所有項(xiàng)之和的表達(dá)式,有一定的難度.