Question

三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁與AC、AB所成角均為60°，∠BAC=90°，且AB=AC=AA₁=1，則三棱錐A₁-ABC的體積為（　�。�

• A．

  2

  4

• B．

  2

  6

• C．

  2

  12

• D．

  2

  18

Answer 1

分析：由已知中∠BAC=90°，且AB=AC=1，可求出底面面積，根據(jù)AA₁與AC、AB所成角均為60°，AA₁=1，可求出棱錐A₁-ABC的高，代入棱錐體積公式，可得答案．

解答：解：∵在底面△ABC中∠BAC=90°，且AB=AC=1，
∴S_△ABC=

1

2

令A(yù)A₁在底面△ABC上的投影交BC于D，則AD為∠BAC的角平分線
則AA₁與底面△ABC的夾角為∠A₁AD
由三余弦定理可得：cos∠A₁AC=cos∠A₁AD•cos∠DAC
即

1

2

=cos∠A₁AD•

2

2

∴cos∠A₁AD=

2

2

則sin∠A₁AD=

2

2

又∵AA₁=1，
∴三棱錐A₁-ABC的高h(yuǎn)=sin∠A₁AD•AA₁=

2

2

故三棱錐A₁-ABC的體積V=

1

3

S_△ABC•h=

2

12

故選C

點評：本題考查的知識點是三棱錐的體積，熟練掌握三棱錐的體積公式是解答的關(guān)鍵．