Question

16．在平行四邊形ABCD中，AP⊥BD于P，AP=3，則$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{AC}$的值為（　�。�

• A． 3
• B． 6
• C． 9
• D． 18

Answer 1

分析 設(shè)對(duì)角線AC、BD相交于O點(diǎn)，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)與向量加法法則，得到$\overrightarrow{AC}$=2$\overrightarrow{AO}$=2（$\overrightarrow{AP}$+$\overrightarrow{PO}$），從而可得$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{AC}$=2$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{AO}$=2${\overrightarrow{AP}}^{2}$+2$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{PO}$．再由$\overrightarrow{AP}$²=$\overrightarrow{|AP|}$²=9且$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{PO}$=0，代入前面的式子即可得到$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{AC}$的值．

解答 解：設(shè)對(duì)角線AC、BD相交于O點(diǎn)，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴$\overrightarrow{AC}$=2$\overrightarrow{AO}$=2（$\overrightarrow{AP}$+$\overrightarrow{PO}$），
因此，$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{AP}•2\overrightarrow{AO}$=2$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{AO}$
=2$\overrightarrow{AP}$•（$\overrightarrow{AP}$+$\overrightarrow{PO}$）=2${\overrightarrow{AP}}^{2}$+2$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{PO}$，
∵$\overrightarrow{|AP|}$=3，$\overrightarrow{AP}$⊥$\overrightarrow{PO}$，
∴$\overrightarrow{AP}$²=$\overrightarrow{|AP|}$²=9，$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{PO}$=0，
由此可得$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{AC}$=2${\overrightarrow{AP}}^{2}$+0=2×9=18．
故選：D

點(diǎn)評(píng) 本題在平行四邊形中求向量的數(shù)量積，著重考查了平行四邊形的性質(zhì)、向量的線性運(yùn)算性質(zhì)、向量的數(shù)量積及其運(yùn)算性質(zhì)等知識(shí)，屬于中檔題．