Question

如圖，在平面直角坐標系XOY中，菱形ABCD的邊長為4，且|OB|=|OD|=6．
（Ⅰ）求證：|OA|．|OC|為定值；
（Ⅱ）當點A在半圓（x-2）²+y²=4（2≤x≤4）上運動時，求點C的軌跡．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)題目給出的條件四邊形ABCD為菱形，且|OB|=|OD|，得到O、A、C三點共線，連結(jié)BD，則BD垂直平分線段AC，設(shè)垂足為K，然后把|OA|•|OC|通過|0K|和|AK|轉(zhuǎn)化為用|OB|和|AB|表示，則答案可證；
（Ⅱ）設(shè)出C點坐標，把A的坐標用∠XMA表示，得到|OA|，結(jié)合（Ⅰ）中結(jié)論求出C的橫坐標為定值5，進一步求出C的縱坐標的范圍，則點C的軌跡可求．

解答：解：（Ⅰ）如圖，
∵|OB|=|OD|，|AB|=|AD|=|BC|=|CD|，∴O、A、C三點共線，
連結(jié)BD，則BD垂直平分線段AC，設(shè)垂足為K，于是有
|OA|•|OC|=（|OK|-|AK|）（|OK|+|AK|）
=|OK|²-|AK|²=（|OB|²-|BK|²）（|AB|²-|BK|²）
=|OB|²-|AB|²=6²-4²=20（定值）；
（Ⅱ）設(shè)C（x，y），A（2+2cosα，sinα），其中α=∠XMA（-

π

2

≤α≤

π

2

），
則∠XOC=

α

2

．
∵|OA|²=（2+2cosα）²+（2sinα）²=8（1+cosα）=16cos2

α

2

，
∴|OA|=4cos

α

2

．
由（Ⅰ）的結(jié)論得：|OC|cos

α

2

=5，∴x=|OC|cos

α

2

=5．
從而y=|OC|sin

α

2

=5tan

α

2

∈[-5，5]．
故點C的軌跡是一條線段，其兩個短點的坐標分別為A（5，5），B（5，-5）．

點評：本題考查了軌跡方程，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法和數(shù)學轉(zhuǎn)化思想方法，解答的關(guān)鍵是利用平面幾何知識把未知長度的式子轉(zhuǎn)化為已知長度的式子，是中檔題．