Question

2．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{log_2}（-x），x＜0\\ x-2，x≥0\end{array}\right.$若函數(shù)g（x）=a-|f（x）|有四個零點x₁，x₂，x₃，x₄，且x₁＜x₂＜x₃＜x₄，則x₁+x₂x₃+x₂x₄的取值范圍是[-5，-4]．

Answer 1

分析 利用函數(shù)g（x）=a-|f（x）|有四個零點x₁，x₂，x₃，x₄，且x₁＜x₂＜x₃＜x₄，可得log₂（-x₁）=-log₂（-x₂）=2-x₃=x₄-2，x₁x₂=1，x₃+x₄=4，由x₁+x₂x₃+x₂x₄=x₁+4x₂=$\frac{1}{{x}_{2}}$+4x₂，根據(jù)-1＜x₂≤-$\frac{1}{4}$，即可得出結(jié)論．

解答 解：由題意，0＜a≤2，
∵函數(shù)g（x）=a-|f（x）|有四個零點x₁，x₂，x₃，x₄，且x₁＜x₂＜x₃＜x₄，
∴l(xiāng)og₂（-x₁）=-log₂（-x₂）=2-x₃=x₄-2，
∴x₁x₂=1，x₃+x₄=4，
∴x₁+x₂x₃+x₂x₄=x₁+4x₂=$\frac{1}{{x}_{2}}$+4x₂，
∵0＜-log₂（-x₂）≤2，
∴-1＜x₂≤-$\frac{1}{4}$，
∴$\frac{1}{{x}_{2}}$+4x₂∈[-5，-4]
∴x₁+x₂x₃+x₂x₄的取值范圍是[-5，-4]．
故答案為：[-5，-4]．

點評 本題考查分段函數(shù)，考查函數(shù)的零點，考查取值范圍的確定，正確轉(zhuǎn)化是關(guān)鍵．