Question

已知S_n是等比數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，S₃，S₉，S₆成等差數(shù)列．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的公比q；
（Ⅱ）證明：a_k，a_k+6，a_k+3（k∈N^*）成等差數(shù)列．

Answer 1

考點(diǎn)：等差關(guān)系的確定,等比數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，建立條件關(guān)系，即可得到結(jié)論．
（Ⅱ）求出a_k，a_k+6，a_k+3（k∈N^*）的通項(xiàng)公式，利用等差數(shù)列的定義進(jìn)行證明即可．

解答： 解：（Ⅰ）由S₃，S₉，S₆成等差數(shù)列，可得2 S₉=S₃+S₆．
當(dāng)q=1時，即得18a₁=3a₁+6a₁，解得a₁=0，不成立．…（3分）
當(dāng)q≠1時，即得

2a1(1-q9)

1-q

=

a1(1-q3)

1-q

+

a1(1-q6)

1-q

，
整理得：2q⁶-q³-1=0，即2（q³）²-q³-1=0，
解得：q=1（舍去），或q=-

3 4

2

． …（7分）
（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）知q³+1=2q⁶，
∴ak+ak+3=a1qk-1+a1qk+2=a1qk-1(1+q3)=a1qk-1•2q6=2a1qk+5，
∵2ak+6=2a1qk+5，
∴a_k+a_k+3=2a_k+6，即a_k，a_k+6，a_k+3（k∈N*）成等差數(shù)列．…（12分）

點(diǎn)評：本題主要考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的應(yīng)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力．