對1個單位質(zhì)量的含污物體進(jìn)行清洗,清洗前其清潔度(含污物體的清潔度定義為:1-
污物質(zhì)量
物體質(zhì)量(含污物)
)為0.8,要求洗完后的清潔度是0.99.有兩種方案可供選擇,方案甲:一次清洗;方案乙:兩次清洗.該物體初次清洗后受殘留水等因素影響,其質(zhì)量變?yōu)閍(1≤a≤3).設(shè)用x單位質(zhì)量的水初次清洗后的清潔度是
x+0.8
x+1
(x>a-1),用y質(zhì)量的水第二次清洗后的清潔度是
y+ac
y+a
,其中c(0.8<c<0.99)是該物體初次清洗后的清潔度.
(Ⅰ)分別求出方案甲以及c=0.95時方案乙的用水量,并比較哪一種方案用水量較少;
(Ⅱ)若采用方案乙,當(dāng)a為某定值時,如何安排初次與第二次清洗的用水量,使總用水量最少?并討論a取不同數(shù)值時對最少總用水量多少的影響.
分析:(1)設(shè)方案甲與方案乙的用水量分別為x與z,由
x+0.8
x+1
=0.99求得x,進(jìn)而可知方案乙初次用水量為3,第二次用水量y滿足的方程,進(jìn)而解得y,進(jìn)而求得a和z的關(guān)系式,進(jìn)而根據(jù)a的范圍得出方案乙的用水量較少.
(2)設(shè)初次與第二次清洗的用水量分別為x與y,求得x和y的關(guān)系式,當(dāng)a為定值時求得x+y的最小值,根據(jù)等號成立的條件求得c,;當(dāng)a不為定值時,根據(jù)T(a)=-a+4
5a
-1
是增函數(shù),進(jìn)而可知,隨著a的值的最少總用水量,最少總用水量最少總用水量.
解答:解:(Ⅰ)設(shè)方案甲與方案乙的用水量分別為x與z,由題設(shè)有
x+0.8
x+1
=0.99,
解得x=19.
由c=0.95得方案乙初次用水量為3,第二次用水量y滿足方程:
y+0.95a
y+a
=0.99
,
解得y=4a,故z=4a+3.
即兩種方案的用水量分別為19與4a+3.
因為當(dāng)1≤a≤3時,x-z=4(4-a)>0,
即x>z,
故方案乙的用水量較少.
(II)設(shè)初次與第二次清洗的用水量分別為x與y,類似(I)得
x=
5c-4
5(1-c)
,y=a(99-100c)(*)
于是x+y=
5c-4
5(1-c)
+a(99-100c)=
1
5(1-c)
+100a(1-c)-a-1

當(dāng)a為定值時,x+y≥2
1
5(1-c)
×100a(1-c)
-a-1=-a+4
5a
-1
,
當(dāng)且僅當(dāng)
1
5(1-c)
=100a(1-c)
時等號成立.
此時c=1+
1
10
5a
(不合題意,舍去)或c=1-
1
10
5a
∈(0.8,0.99)
,
c=1-
1
10
5a
代入(*)式得x=2
5a
-1>a-1,y=2
5a
-a

c=1-
1
10
5a
時總用水量最少,
此時第一次與第二次用水量分別為2
5a
-1與2
5a
-a

最少總用水量是T(a)=-a+4
5a
-1

當(dāng)1≤a≤3時,T(a)=
2
5
a
-1>0

故T(a)是增函數(shù)(也可以用二次函數(shù)的單調(diào)性判斷).
這說明,隨著a的值的增加,最少用水總量增加.
點評:本題主要考查了基本不等式.利用基本不等式求函數(shù)的最大值或最小值是高中求函數(shù)最值的主要方法之一.在具體的題目中,“正數(shù)”條件往往可以從題設(shè)中獲得解決,“相等”條件需要驗證確定,而要獲得“定值”條件,通常需要一定的靈活性和變形的技巧.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(06年湖南卷理)(14分)

對1個單位質(zhì)量的含污物體進(jìn)行清洗, 清洗前其清潔度(含污物體的清潔度定義為:

, 要求清洗完后的清潔度為.  有兩種方案可供選擇, 方案甲: 一次清洗;   方案乙: 分兩次清洗. 該物體初次清洗后受殘留水等因素影響, 其質(zhì)量變?yōu)?IMG height=21 src='http://thumb.zyjl.cn/pic1/img/20090331/20090331203646004.gif' width=79>. 設(shè)用單位質(zhì)量的水初次清洗后的清潔度是, 用單位質(zhì)量的水第二次清洗后的清潔度是,

其中是該物體初次清洗后的清潔度.

(Ⅰ)分別求出方案甲以及時方案乙的用水量, 并比較哪一種方案用水量較少;

(Ⅱ)若采用方案乙, 當(dāng)為某固定值時, 如何安排初次與第二次清洗的用水量, 使總用水量最小? 并討論取不同數(shù)值時對最少總用水量多少的影響.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

對1個單位質(zhì)量的含污物體進(jìn)行清洗,清洗前其清潔度(含污物體的清潔度定義為:1-)為0.8,要求清洗完后的清潔度為0.99.有兩種方案可供選擇,方案甲:一次清洗;方案乙:分兩次清洗.該物體初次清洗后受殘留水等因素影響,其質(zhì)量變?yōu)閍(1≤a≤3).設(shè)用x單位質(zhì)量的水初次清洗后的清潔度是(x>a-1),用y單位質(zhì)量的水第二次清洗后的清潔度是,其中c(0.8<c<0.99)是該物體初次清洗后的清潔度.

(1)分別求出方案甲以及c=0.95時方案乙的用水量,并比較哪一種方案用水量較少.

(2)若采用方案乙,當(dāng)a為某定值時,如何安排初次與第二次清洗的用水量,使總用水量最少?并討論a取不同數(shù)值時對最少總用水量的影響.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

對1個單位質(zhì)量的含污物體進(jìn)行清洗,清洗前其清潔度(含污物體的清潔度定義為:)為0.8,要求洗完后的清潔度是0.99.有兩種方案可供選擇,方案甲:一次清洗;方案乙:兩次清洗.該物體初次清洗后受殘留水等因素影響,其質(zhì)量變?yōu)?img width=13 height=15 src="http://thumb.zyjl.cn/pic1/1899/sx/197/315197.gif">(1≤a≤3).設(shè)用單位質(zhì)量的水初次清洗后的清潔度是(),用質(zhì)量的水第二次清洗后的清潔度是,其中是該物體初次清洗后的清潔度.

(Ⅰ)分別求出方案甲以及時方案乙的用水量,并比較哪一種方案用水量較少;

(Ⅱ)若采用方案乙,當(dāng)為某定值時,如何安排初次與第二次清洗的用水量,使總用水量最少?并討論取不同數(shù)值時對最少總用水量多少的影響.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

對1個單位質(zhì)量的含污物體進(jìn)行清洗,清洗前其清潔度(含污物體的清潔度定義為:(1-)為0.8,要求洗完后的清潔度是0.99.有兩種方案可供選擇,方案甲:一次清洗;方案乙:分兩次清洗.該物體初次清洗后受殘留水等因素影響,其質(zhì)量變?yōu)閍(1≤a≤3).設(shè)用x單位質(zhì)量的水初次清洗后的清潔度是(x>a-1),用y單位質(zhì)量的水第二次清洗后的清潔度是,其中c(0.8<c<0.99)是該物體初次清洗后的清潔度.

(1)分別求出方案甲以及c=0.95時方案乙的用水量,并比較哪一種方案用水量較少;

(2)若采用方案乙,當(dāng)a為某定值時,如何安排初次與第二次清洗的用水量,使總用水量最少?并討論a取不同數(shù)值時對最少總用水量多少的影響.

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