Question

設(shè)定義在R上的函數(shù)f(x)=

1(x=0) lg|x|(x≠0)

，若關(guān)于x的方程f²（x）+bf（x）+c=0恰有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)解x₁，x₂，x₃，則x12+x22+x32=

 

．

Answer 1

分析：設(shè)t=f（x），作出函數(shù)f（x）的圖象，根據(jù)關(guān)于x的方程f²（x）+bf（x）+c=0恰有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)解x₁，x₂，x₃，得到t的取值情況即可求出結(jié)論．

解答：解：設(shè)t=f（x），則關(guān)于x的方程f²（x）+bf（x）+c=0等價(jià)為t²+bt+c=0，
作出f（x）的圖象如圖：
由圖象可知當(dāng)t=1時(shí)，方程f（x）=1有三個(gè)根，當(dāng)t≠1時(shí)方程f（x）=t有兩個(gè)不同的實(shí)根，
∴若若關(guān)于x的方程f²（x）+bf（x）+c=0恰有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)解x₁，x₂，x₃，
則等價(jià)為t²+bt+c=0只有一個(gè)根t=1，
由f（x）=1得，x=0，或者lg|x|=1，
即得x=±10，
即三個(gè)根x₁，x₂，x₃，分別為0.10或-10，
∴x12+x22+x32=0+100+100=200．
故答案為：200

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查方程根的個(gè)數(shù)的應(yīng)用，利用換元法將方程轉(zhuǎn)化為二次方程，根據(jù)二次方程根的分布是解決本題的關(guān)鍵，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的基本思想．