【答案】
分析:(1)求出導函數(shù)令其為0得到函數(shù)的駐點,利用導函數(shù)大于得到f(x)為增函數(shù),小于0得到f(x)為減函數(shù),得到函數(shù)的極小值,令f(x)的極小值≥0得到m的范圍;
(2)當整數(shù)m>1時,函數(shù)f(x)在[e
-m-m,1-m]上為連續(xù)減函數(shù),由增減性得到f(e
-m-m)與f(1-m)異號,由所給定理知,存在唯一的x
1∈(e
-m-m,1-m),使f(x
1)=0;函數(shù)f(x)在[1-m,e
-m-m]上為連續(xù)增函數(shù)且f(1-m)與f(e
2m-m)異號,由所給定理知,存在唯一的x
2∈[1-m,e
-m-m,],使f(x
2)=0,得到當整數(shù)m>1時,方程f(x)=0,在[e
-m-m,e
2m-m]內(nèi)有兩個實根.
解答:(1)解:函數(shù)f(x)=x-ln(x+m),x∈(-m,+∞)連續(xù),且
當x∈(-m,1-m)時,f’(x)<0,f(x)為減函數(shù),f(x)>f(1-m)
當x∈(1-m,+∞)時,f’(x)>0,f(x)為增函數(shù),f(x)>f(1-m)
根據(jù)函數(shù)極值判別方法,f(1-m)=1-m為極小值,而且
對x∈(-m,+∞)都有f(x)≥f(1-m)=1-m
故當整數(shù)m≤1時,f(x)≥1-m≥0
(2)證明:由(1)知,當整數(shù)m>1時,f(1-m)=1-m<0,函數(shù)f(x)=x-ln(x+m),在[e
-m-m,1-m]上為連續(xù)減函數(shù).
f(e
-m-m)=e
-m-m-ln(e
-m-m+m)=e
-m>0
當整數(shù)m>1時,f(e
-m-m)與f(1-m)異號,
由所給定理知,存在唯一的x
1∈(e
-m-m,1-m),使f(x
1)=0
而當整數(shù)m>1時,
類似地,當整數(shù)m>1時,函數(shù)f(x)=x-ln(x+m),在[1-m,e
-m-m]上為連續(xù)增函數(shù)且f(1-m)與f(e
2m-m)異號,由所給定理知,存在唯一的x
2∈[1-m,e
-m-m,],使f(x
2)=0
故當m>1時,方程f(x)=0在[e
-m-m,e
2m-m]內(nèi)有兩個實根.
點評:考查學生利用導數(shù)研究函數(shù)極值的能力,利用給出定理證明數(shù)學題的能力.