Question

3．已知正項數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，若{a_n}和{$\sqrt{{S}_{n}}$}都是等差數(shù)列，且公差相等，則a₆=（　�。�

• A． $\frac{11}{4}$
• B． $\frac{3}{2}$
• C． $\frac{7}{2}$
• D． 1

Answer 1

分析 設等差數(shù)列{a_n}和{$\sqrt{{S}_{n}}$}的公差為d，可得a_n=a₁+（n-1）d，$\sqrt{{S}_{n}}$=$\sqrt{{a}_{1}}$+（n-1）d，于是$\sqrt{{a}_{1}+{a}_{2}}$=$\sqrt{2{a}_{1}+d}$=$\sqrt{{a}_{1}}$+d，$\sqrt{3{a}_{1}+3d}$=$\sqrt{{a}_{1}}$+2d，化簡整理可得：a₁，d，即可得出．

解答 解：設等差數(shù)列{a_n}和{$\sqrt{{S}_{n}}$}的公差為d，
則a_n=a₁+（n-1）d，$\sqrt{{S}_{n}}$=$\sqrt{{a}_{1}}$+（n-1）d，
∴$\sqrt{{a}_{1}+{a}_{2}}$=$\sqrt{2{a}_{1}+d}$=$\sqrt{{a}_{1}}$+d，$\sqrt{3{a}_{1}+3d}$=$\sqrt{{a}_{1}}$+2d，
平方化為：a₁+d=d²+2$\sqrt{{a}_{1}}$d，2a₁+3d=4d²+4$\sqrt{{a}_{1}}$d，
可得：a₁=$2\sqrt{{a}_{1}}$d-d²，代入a₁+d=d²+2$\sqrt{{a}_{1}}$d，
化為d（2d-1）=0，
解得d=0或$\frac{1}{2}$．
d=0時，可得a₁=0，舍去．
∴$d=\frac{1}{2}$，a₁=$\frac{1}{4}$．
∴a₆=$\frac{1}{4}+\frac{1}{2}×5$=$\frac{11}{4}$．
故選：A．

點評 本題考查了等差數(shù)列的通項公式及其前n項和公式、遞推關系、方程的解法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．