Question

9．設數(shù)列{a_n}的前n項和S_n滿足：S_n=na_n-2n（n-1），等比數(shù)列{b_n}的前n項和為T_n，公比為a₁，且T₅=T₃+2b₅．
（I）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（II）求數(shù)列$\left\{{\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}}\right\}$的前n項和為M_n．

Answer 1

分析 （I）由T₅=T₃+2b₅，化為b₄=b₅，可得a₁=1．由 S_n=na_n-2n（n-1），利用遞推關系可得：n≥2，a_n=na_n-（n-1）a_n-1-4（n-1），化為a_n-a_n-1=4，利用等差數(shù)列的通項公式可得a_n．
（II）$\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}=\frac{1}{{（{4n-3}）（{4n+1}）}}=\frac{1}{4}（{\frac{1}{4n-3}-\frac{1}{4n+1}}）$，利用“裂項求和”方法、數(shù)列的單調(diào)性即可證明．

解答 解：（I）∵T₅=T₃+2b₅，∴T₃+b₄+b₅=T₃+2b₅，∴b₄=b₅，∴a₁=1．
∵S_n=na_n-2n（n-1），∴n≥2，S_n-1=（n-1）a_n-1-2（n-1）（n-2），
∴n≥2，a_n=na_n-（n-1）a_n-1-4（n-1），即n≥2時，有a_n-a_n-1=4，
∴{a_n}為等差數(shù)列，公差為4，首項為1，
∴a_n=4n-3．
（II）$\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}=\frac{1}{{（{4n-3}）（{4n+1}）}}=\frac{1}{4}（{\frac{1}{4n-3}-\frac{1}{4n+1}}）$，
∴${M_n}=\frac{1}{4}（{1-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{9}+\frac{1}{9}-\frac{1}{13}+…+\frac{1}{4n-3}-\frac{1}{4n+1}}）$=$\frac{1}{4}（{1-\frac{1}{4n+1}}）＜\frac{1}{4}$，
n≥1時，易知M_n為遞增數(shù)列，∴${M_n}≥\frac{1}{5}$，即$\frac{1}{5}≤{M_n}＜\frac{1}{4}$．

點評 本題考查了數(shù)列的遞推關系、等差數(shù)列的通項公式、“裂項求和”方法、數(shù)列的單調(diào)性，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．