Question

12．已知函數(shù)f（x）=$\frac{2lnx+（x-m）^{2}}{x}$，若存在x∈（1，2]，使得f′（x）x+f（x）＞0，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（-∞，$\frac{5}{2}$）．

Answer 1

分析 對(duì)f（x）求導(dǎo)，確定出不等式的等價(jià)結(jié)論為二次函數(shù)大于0，從而確定出m的范圍．

解答 解：∵f（x）=$\frac{2lnx+（x-m）^{2}}{x}$，
∴f（x）定義域?yàn)椋?，+∞），
f′（x）=$\frac{{x}^{2}-2lnx+2{-m}^{2}}{{x}^{2}}$，
構(gòu)造函數(shù)h（x）=xf（x），
∴h′（x）=f′（x）•x+f（x）=$\frac{{2x}^{2}-2mx+2}{x}$＞0對(duì)存在x∈[1，2]成立，
∴存在x∈[1，2]使得：x²-mx+1＞0，
令g（x）=x²-mx+1，
∴g（1）＞0或g（2）＞0即可，
m＜2或m＜$\frac{5}{2}$，
∴m＜$\frac{5}{2}$，
故答案為：（-∞，$\frac{5}{2}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)求導(dǎo)，以及不等式的等價(jià)變換問(wèn)題．