Question

已知函數(shù)f（x）=

1

x

-2xⁿ，且f（2）=-

7

2

（1）求n；
（2）判斷f（x）的奇偶性；
（3）試判斷f（x）在（0，+∞）上的單調(diào)性，并證明．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的判斷,函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）代入，解方程即可得到n=1；
（2）求出定義域，再計(jì)算f（-x），與f（x）比較，即可判斷其偶性；
（3）f（x）在（0，+∞）為減函數(shù)．運(yùn)用單調(diào)性的定義，注意作差、變形、定符號和下結(jié)論幾個(gè)步驟．

解答： 解：（1）f（2）=

1

2

-2×2ⁿ=-

7

2

，即2ⁿ=2，解得n=1；
（2）由（1）得函數(shù)y=f（x）=

1

x

-2x的定義域?yàn)閧x|x≠0}，關(guān)于原點(diǎn)對稱，
f（-x）=

1

-x

+2x=-（

1

x

-2x）=-f（x）
則f（x）為奇函數(shù)；
（3）f（x）在（0，+∞）為減函數(shù)．
證明如下：設(shè)m＞n＞0，
則f（m）-f（n）=

1

m

-2m-（

1

n

-2n）=（

1

m

-

1

n

）-2（m-n）=（n-m）（

1

mn

+2）
由于m＞n＞0，則n-m＜0，mn＞0，則f（m）-f（n）＜0，
即f（m）＜f（n）
則f（x）為減函數(shù)．

點(diǎn)評：本題考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的判斷，注意運(yùn)用定義，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．