Question

一個(gè)直角三角形三邊的長(zhǎng)成等比數(shù)列，則（　�。�

• A．三邊邊長(zhǎng)之比為3：4：5
• B．三邊邊長(zhǎng)之比為1：

  3

  ：3
• C．較小銳角的正弦為

  5 -1

  2

• D．較大銳角的正弦為

  5 -1

  2

Answer 1

分析：由直角三角形的三邊成等比數(shù)列，公比為q，設(shè)三角形三邊分別為a，aq，aq²，根據(jù)勾股定理列出關(guān)系式，根據(jù)a大于0，化簡(jiǎn)可得關(guān)于q的方程，求出方程的解即可得到q的值，可求出三角形三邊之比，對(duì)選項(xiàng)A和B進(jìn)行判斷；由三角形最大角為直角，設(shè)最小角為α，由最短的邊為a，最長(zhǎng)的邊為aq²，利用正弦定理表示出sinα，將q²的值代入即可求出sinα的值，作出判斷；又三角形最大角為直角，其正弦值為1，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤．進(jìn)而得到正確的選項(xiàng)．

解答：解：設(shè)直角三角形較短的直角邊為a（a＞0），公比為q，
由題意得：其它兩邊分別為aq，aq²，
根據(jù)勾股定理得：a²+（aq）²=（aq²）²，
整理得：q⁴-q²-1=0，
解得：q²=

1+ 5

2

或q²=

1- 5

2

（舍去），
則q²的值為

1+ 5

2

，
∴三邊長(zhǎng)之比為a：aq：aq²=1：q：q²=1：

1+ 5 2

：

1+ 5

2

，
故選項(xiàng)A和B錯(cuò)誤；
設(shè)最小內(nèi)角為α，
根據(jù)正弦定理得：

a

sinα

=

aq2

sin π 2

，即sinα=

1

q2

=

1

1+ 5 2

=

5 -1

2

，
則較小銳角的正弦值為

5 -1

2

，故選項(xiàng)C正確，
又最大角為直角，其正弦值為1，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤，
故選C

點(diǎn)評(píng)：此題考查了等比數(shù)列的性質(zhì)，勾股定理，正弦定理，特殊角的三角函數(shù)值，以及一元二次方程的解法，熟練掌握等比數(shù)列的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．