Question

6．已知a，b，c是互不相等的非零實數(shù)，函數(shù)f（x）=$\frac{a}{3}{x^3}+b{x^2}$+cx，g（x）=$\frac{3}{x^3}+c{x^2}$+ax，h（x）=$\frac{c}{3}{x^3}+a{x^2}$+bx．利用反證法證明：f（x），g（x），h（x）這三個函數(shù)中，至少有一個函數(shù)存在極值．

Answer 1

分析 求出三個函數(shù)的導數(shù)，利用反證法結合二次函數(shù)的性質(zhì)推出矛盾結論，即可證明．

解答 證明：f'（x）=ax²+2bx+c，g'（x）=bx²+2cx+a，h'（x）=cx²+2ax+b．
假設f（x），g（x），h（x）這三個函數(shù)都不存在極值，…（2分）
則這三個函數(shù)的導函數(shù)都不存在變號零點，
即：${△_1}=4{b^2}-4ac≤0，{△_2}=4{c^2}-4ab≤0，{△_3}=4{a^2}-4bc≤0$，…（6分）
所以${△_1}+{△_2}+{△_3}=4{b^2}-4ac+4{c^2}-4ab+4{a^2}-4bc≤0$，…（8分）
即（a-b）²+（b-c）²+（a-c）²≤0，與a，b，c是互不相等的非零實數(shù)矛盾．
所以假設不成立，所以f（x），g（x），h（x）這三個函數(shù)中，至少有一個函數(shù)存在極值．…（12分）

點評 本題考查函數(shù)的導數(shù)的應用，反證法的應用，考查分析問題解決問題的能力．