Question

(1) 在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線的參數(shù)方程為為參數(shù)），M為上的動點(diǎn)，P點(diǎn)滿足，點(diǎn)P的軌跡為曲線．已知在以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，射線與的異于極點(diǎn)的交點(diǎn)為A，與的異于極點(diǎn)的交點(diǎn)為B，求|AB|．
(2) 某旅游景點(diǎn)給游人準(zhǔn)備了這樣一個游戲，他制作了“迷尼游戲板”：在一塊傾斜放置的矩形膠合板上釘著一個形如“等腰三角形”的八行鐵釘，釘子之間留有空隙作為通道，自上而下第1行2個鐵釘之間有1個空隙，第2行3個鐵釘之間有2個空隙，…，第8行9個鐵釘之間有8個空隙(如圖所示)．東方莊家的游戲規(guī)則是：游人在迷尼板上方口放人一球，每玩一次(放入一球就算玩一次)先付給莊家2元．若小球到達(dá)①②③④號球槽，分別獎4元、2元、0元、-2元．(一個玻璃球的滾動方式：通過第1行的空隙向下滾動，小球碰到第二行居中的鐵釘后以相等的概率滾入第2行的左空隙或右空隙．以后小球按類似方式繼續(xù)往下滾動，落入第8行的某一個空隙后，最后掉入迷尼板下方的相應(yīng)球槽內(nèi))．恰逢周末，某同學(xué)看了一個小時，留心數(shù)了數(shù)，有80人次玩．試用你學(xué)過的知識分析，這一小時內(nèi)游戲莊家是贏是賠? 通過計算，你得到什么啟示?

Answer 1

（1）.
(2)～B(7，)． 一小時內(nèi)有80人次玩．游戲莊家通常獲純利為(2+×)80=225(元)
答：莊家當(dāng)然是贏家!我們應(yīng)當(dāng)學(xué)會以所學(xué)過的知識為武器，勸說人們不要被這類騙子的騙術(shù)所迷惑．                               16分

試題分析：設(shè)P(x，y)，則由條件知M().由于M點(diǎn)在C₁上，所以
  即 
從而的參數(shù)方程為    （為參數(shù)）  4分
∴ 曲線的極坐標(biāo)方程為，曲線的極坐標(biāo)方程為．
射線與的交點(diǎn)的極徑為，
射線與的交點(diǎn)的極徑為．
所以.  8分
(2)

解：游人每玩一次，設(shè)游戲莊家獲利為隨機(jī)變量(元)；游人每放一球，小球落入球槽，相當(dāng)于做7次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，設(shè)這個小球落入鐵釘空隙從左到右的次序?yàn)殡S機(jī)變量+1，
則～B(7，)．  10分
因?yàn)镻(=-4)=P(=0或=7)=P(=0)+P(=7)=+=
P(=-2)=P(=1或=6)=P(=1)+P(=6)=+=
P(=0)=P(=2或=5)=P(=2)+P(=5)=+=
P(=2)=P(=3或=4)=P(=3)+P(=4)=+=
2+E=2+(-4)×+(-2)×+0×+2×=2+，   14分
一小時內(nèi)有80人次玩．游戲莊家通常獲純利為(2+×)80=225(元)
答：莊家當(dāng)然是贏家!我們應(yīng)當(dāng)學(xué)會以所學(xué)過的知識為武器，勸說人們不要被這類騙子的騙術(shù)所迷惑．                               16分
點(diǎn)評：綜合題，本題綜合考查簡單曲線的參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程，獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)概率計算，隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望。（2）作為應(yīng)用問題，寓教于樂，令人生趣。對計算能力要求較高。