(2010•重慶一模)設(shè)函數(shù)f(x)=-x2+2ax+m,g(x)=
ax

(I)若函數(shù)f(x),g(x)在[1,2]上都是減函數(shù),求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(II)當(dāng)a=1時(shí),設(shè)函數(shù)h(x)=f(x)g(x),若h(x)在(0,+∞)內(nèi)的最大值為-4,求實(shí)數(shù)m的值.
分析:(I)直接根據(jù)二次函數(shù)、反比例函數(shù)單調(diào)性列出關(guān)于a的方程組,并解即可得出實(shí)數(shù)a的取值范圍.
(II)當(dāng)a=1時(shí),h(x)=f(x)g(x)=
-x2+2x+m
x
=-x+
m
x
+2
,利用單調(diào)性或基本不等式探討出最大值情況,再確定實(shí)數(shù)m的值.
解答:解:(I)f(x),g(x)在[1,2]上都是減函數(shù).
a≤1
a>0
⇒0<a≤1
.…(4分)
(II)當(dāng)a=1時(shí),h(x)=f(x)g(x)=
-x2+2x+m
x
=-x+
m
x
+2
,…(6分)
當(dāng)m≥0時(shí),顯然h(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減,∴h(x)無(wú)最大值;…(8分)
當(dāng)m<0時(shí),h(x)=-x+
m
x
+2=-(x+
(-m)
x
)+2≤-2
-m
+2
,…(10分)
當(dāng)且僅當(dāng)x=
-m
時(shí),等號(hào)成立,
h(x)max=-2
-m
+2
-2
-m
+2=-4⇒m=-9
…(13分)
點(diǎn)評(píng):本題考查初等函數(shù)的單調(diào)性,函數(shù)的最值求解,基本不等式的應(yīng)用,考查計(jì)算、分類討論能力.
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