Question

9．函數(shù)f（x）=x²+bx-1（b∈R）．
（Ⅰ）若函數(shù)y=|f（x）|在[0，|b|）上的最大值為g（b），求g（b）的表達(dá)式；
（Ⅱ）是否存在實數(shù)b，使得對任意實數(shù)x₁∈[1，2]，總存在著實數(shù)x₂∈[1，2]b，使得f（x₁）-bx₁=|f（x₂）|成立，若存在，求出實數(shù)b；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的對稱軸，通過討論b的范圍，求出|f（x）|的最大值，即g（b）的表達(dá)式即可；
（Ⅱ）問題等價于g（x）=0在[1，2]上有解且g（x）=3或-3在[1，2]上有解，求出b的值即可．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=x²+bx-1=${（x+\frac{2}）}^{2}$-1-$\frac{^{2}}{4}$，
∴對稱軸是直線x=-$\frac{2}$，
①b＞0時，|f（x）|在[0，b]上遞增，
|f（x）|_max=max{|f（0）|，|f（b）|}=max{1，|2b²-1|}=$\left\{\begin{array}{l}{1，0＜b＜1}\\{{2b}^{2}-1，b≥1}\end{array}\right.$，
②b＜0時，|f（0）|=|f（|b|）|=1，f（-$\frac{2}$）=-1-$\frac{^{2}}{4}$，
又|f（-$\frac{2}$）|=1+$\frac{^{2}}{4}$＞1，∴|f（x）|_max=$\frac{^{2}}{4}$+1，
綜上，g（b）=$\left\{\begin{array}{l}{{2b}^{2}-1，b≥1}\\{1，0＜b＜1}\\{\frac{^{2}}{4}+1，b＜0}\end{array}\right.$；
（Ⅱ）y=f（x₁）-bx₁=${{x}_{1}}^{2}$-1，（1≤x₁≤2）的值域為D₁=[0，3]，
令g（x₂）=|f（x₂）|即g（x）=|x²+bx+1|，
原問題等價于當(dāng)x∈[1，2]時，g（x）的值域為[0，t]，其中t≥3，
也等價于g（x）=0在[1，2]上有解且g（x）=3或-3在[1，2]上有解，
若g（x）=0在[1，2]上有解，即b=$\frac{1}{x}$-x在[1，2]上有解，從而-$\frac{3}{2}$≤b≤0，
若g（x）=3在[1，2]上有解，即b=$\frac{4}{x}$-x在[1，2]上有解，從而0≤b≤3，
若g（x）=-3在[1，2]上有解，即b=-（$\frac{2}{x}$+x）在[1，2]上有解，從而-3≤b≤-2$\sqrt{2}$，
綜上，b=0．

點評 本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，考查求函數(shù)的最值問題，是一道中檔題．