Question

若a，b是任意非零的常數(shù)，對于函數(shù)y=f（x）有以下5個(gè)命題：
①f（x）是T=2a的周期函數(shù)的充要條件是f（x+a）=f（x-a）；
②f（x）是T=2a的周期函數(shù)的充要條件是f（x+a）=-f（x）；
③若f（x）是奇函數(shù)且是T=2a的周期函數(shù)，則f（x）的圖形關(guān)于直線x=

a

2

對稱；
④若f（x）關(guān)于直線x=

a

2

對稱，且f（x+a）=-f（x），則f（x）是奇函數(shù)；
⑤若f（x）關(guān)于點(diǎn)（a，0）對稱，關(guān)于直線x=b對稱，則f（x）是T=4（a-b）的周期函數(shù)．
其中正確命題的序號為

①④⑤

．

Answer 1

分析：根據(jù)函數(shù)周期性的定義及充要條件的定義，逐一判斷5個(gè)命題的真假，綜合討論結(jié)果，可得答案．

解答：解：f（x+a）=f（x-a）時(shí)，f（x+2a）=f（x），f（x）是T=2a的周期函數(shù)
f（x）是T=2a的周期函數(shù)時(shí)，f（x+a）=f（x-a）一定成立，故①正確；
當(dāng)f（x+a）=-f（x）時(shí)，f（x+2a）=f（x），f（x）是T=2a的周期函數(shù)
f（x）是T=2a的周期函數(shù)時(shí)，f（x+a）=-f（x）不一定成立，
故f（x）是T=2a的周期函數(shù)的充分條件是f（x+a）=-f（x），故②錯(cuò)誤；
若f（x）是奇函數(shù)且是T=2a的周期函數(shù)，則f（x）的圖形不一定是軸對稱圖象，故③錯(cuò)誤；
若f（x）關(guān)于直線x=

a

2

對稱，則f（a+x）=f（x），又由f（x+a）=-f（x），可得f（x）=-f（-x），即f（x）是奇函數(shù)，故④正確；
函數(shù)f（x）是以4（m-a）為周期的周期函數(shù)．
由條件圖象關(guān)于點(diǎn)（a，0）對稱，故-f（x）=f（2a-x），
又圖象關(guān)于直線x=b對稱，f（2b-x）=f（x），
所以，-f（2b-x）=f（2b-x），即-f（x）=f（2a-2b+x）．
由-f（x）=f（2a-2b+x） 得：
-f（2a-2b+x）=f（4a-4b+x），
∴-（-f（x））=f（4a-4b+x），
因此，f[4（a-b）+x]=f（x），
所以，f（x）是以4（a-b）為周期的函數(shù)．故⑤正確
故答案為：①④⑤

點(diǎn)評：本題以命題的真假判斷為載體，考查了函數(shù)的周期性的性質(zhì)，熟練掌握函數(shù)周期性的判定方法是解答的關(guān)鍵．