Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a1=1，an+1=

an

an+1

(n≥1)，數(shù)列{b_n}滿足b_n=lna_n．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）試比較

n

i=1

(ai-1)與

n

i=1

bi的大小，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）取倒數(shù)，可得{

1

an

}是以

1

a1

=1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，即可求得{

1

an

}的通項(xiàng)公式，從而可得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．
（2）構(gòu)造函數(shù)f（x）=lnx-x+1，求導(dǎo)研究出f（x）的單調(diào)性，即可得到結(jié)論．

解答：解：（1）∵an+1=

an

an+1

(n≥1)，∴

1

an+1

=

1

an

+1
∴

1

an+1

-

1

an

=1
∴{

1

an

}是以

1

a1

=1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列
∴

1

an

=n，∴a_n=

1

n

；
（2）由（1）得a_n-1=

1

n

-1，b_n=lna_n=ln

1

n

構(gòu)造函數(shù)f（x）=lnx-x+1，則f′（x）=

1-x

x

當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f'（x）＞0，f（x）在（0，1）上單調(diào)遞增；
當(dāng)x＞1時(shí)，f'（x）＜0，f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞減，
∴f（x）≤f（1）=0，
即?x＞0，lnx≤x-1，當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取等號(hào)，
∴l(xiāng)n

1

i

≤

1

i

-1，即b_i≤a_i-1，當(dāng)且僅當(dāng)i=1時(shí)取等號(hào)，
∴

n

i=1

(ai-1)≥

n

i=1

bi，當(dāng)且僅當(dāng)i=1時(shí)取等號(hào)．

點(diǎn)評(píng)：本題是函數(shù)與導(dǎo)數(shù)、數(shù)列、不等式的綜合，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．