Question

【題目】在四棱錐中，．

（1）設(shè)與相交于點(diǎn)，，且平面，求實(shí)數(shù)的值；

（2）若，且，求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】(1) (2)

【解析】

（1）由AB∥CD，得到，由MN∥平面PCD，得MN∥PC，從而，由此能實(shí)數(shù)m的值．

（2）由AB＝AD，∠BAD＝60°，知△ABD為等邊三角形，推導(dǎo)出PD⊥DB，PD⊥AD，從而PD⊥平面ABCD，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)?/span>x，y軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，由此能求出二面角B﹣PC﹣D的余弦值．

（1）因?yàn)?/span>,所以．

因?yàn)?/span>平面，平面，平面平面，

所以．

所以，即．

（2）因?yàn)?/span>,可知三角形ABD為等邊三角形，

所以，又，故，所有．

由已知，所以平面，

如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)?/span>軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)，則，

所以,

則，

設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則有

即 令，則，即，

設(shè)平面的一個(gè)法向量為,則有

即令，則，即．

所以，

設(shè)二面角的平面角為 ，則