Question

7．已知向量$\overrightarrow{a}$=（m，4），$\overrightarrow$=（m+4，1），若|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|=|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|，則與$\overrightarrow{a}$方向相同的單位向量的坐標是$（-\frac{\sqrt{5}}{5}，\frac{2\sqrt{5}}{5}）$．

Answer 1

分析 由已知向量的坐標求出$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$與$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$的坐標，代入|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|=|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|求得m值，進一步得到$\overrightarrow{a}$的坐標，則與$\overrightarrow{a}$方向相同的單位向量的坐標可求．

解答 解：∵$\overrightarrow{a}$=（m，4），$\overrightarrow$=（m+4，1），
∴$\overrightarrow{a}+\overrightarrow=（2m+4，5），\overrightarrow{a}-\overrightarrow=（-4，3）$，
由|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|=|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|，得（2m+4）²+5²=25，即m=-2．
∴$\overrightarrow{a}=（-2，4）$=$2\sqrt{5}（-\frac{\sqrt{5}}{5}，\frac{2\sqrt{5}}{5}）$，
∴與$\overrightarrow{a}$方向相同的單位向量的坐標是$（-\frac{\sqrt{5}}{5}，\frac{2\sqrt{5}}{5}）$．
故答案為：$（-\frac{\sqrt{5}}{5}，\frac{2\sqrt{5}}{5}）$．

點評 本題考查平面向量的數量積運算，考查了單位向量的概念，是基礎題．