Question

已知雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的離心率為

3

，實(shí)軸長為2；
（1）求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）已知直線x-y+m=0與雙曲線C交于不同的兩點(diǎn)A，B，且線段AB的中點(diǎn)在圓x²+y²=5上，求實(shí)數(shù)m的值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）依題意得2a=2，e=

3

，由此能求出雙曲線方程．
（2）設(shè)點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）AB的中點(diǎn)M（x₀，y₀），由

2x2-y2=2 x-y+m=0

，得x²-2mx-m²-2=0，由此能求出實(shí)數(shù)m的值．

解答： 解：（1）依題意得2a=2，a=1，…（1分）
e=

3

，∴c=

3

，…（2分）
∴b²=c²-a²=2，…（4分）
∴雙曲線方程為：x2-

y2

2

=1…（5分）
（2）設(shè)點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）AB的中點(diǎn)M（x₀，y₀），…（6分）
由

2x2-y2=2 x-y+m=0

得x²-2mx-m²-2=0…（8分）
x0=

x1+x2

2

=m，y0=x0+m=2m，…（10分）
∵點(diǎn)M在圓上，∴x02+y02=5，
∴m²+（2m）²=5，∴m=±1．…（12分）

點(diǎn)評：本題考查雙曲線方程的求法，考查實(shí)數(shù)值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運(yùn)用．