【題目】如圖,某廣場中間有一塊邊長為2百米的菱形狀綠化區(qū)ABCD,其中BMN是半徑為1百米的扇形,∠ABC= .管理部門欲在該地從M到D修建小路:在 上選一點P(異于M,N兩點),過點P修建與BC平行的小路PQ.
(1)若∠PBC= ,求PQ的長度;
(2)當點P選擇在何處時,才能使得修建的小路 與PQ及QD的總長最?并說明理由.
【答案】
(1)解.如圖示:
,
連接BP,過P作PP1⊥BC,垂足為P1,過Q作QQ1⊥BC垂足為Q1,
在Rt△PBP1中, ,PQ=1
(2)解.設(shè)∠PBP1=θ, ,
∴ ,
在Rt△QBQ1中, ,
∴總路徑長f(θ)= ﹣θ+4﹣cosθ﹣ sinθ,(0<θ< ),
f′(θ)=sinθ﹣ cosθ﹣1=2sin(θ﹣ )﹣1,
令f'(θ)=0, ,
當 時,f'(θ)<0,
當 時,f'(θ)>0,
所以當 時,總路徑最短.
答:當BP⊥BC時,總路徑最短
【解析】(1)作出輔助線,根據(jù)梯形的性質(zhì)求出PQ的長即可;(2)設(shè)∠PBP1=θ,求出PQ的長,得到總路徑長f(θ)的表達式,通過求導(dǎo)得到函數(shù)的單調(diào)性,從而求出去最小值時θ的值,即P點的位置即可.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)、分別是橢圓的左、右焦點.
(1)若是該橢圓上的一個動點,求的最大值和最小值;
(2)設(shè)過定點的直線與橢圓交于不同的兩點、,且為銳角(其中為坐標原點),求直線的斜率的取值范圍.
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【題目】如圖,A,B,C,D為平面四邊形ABCD的四個內(nèi)角.
(1)證明:tan = ;
(2)若A+C=180°,AB=6,BC=3,CD=4,AD=5,求tan +tan +tan +tan 的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】若f(x)=x﹣1﹣alnx,g(x)= ,a<0,且對任意x1 , x2∈[3,4](x1≠x2),|f(x1)﹣f(x2)|<| ﹣ |的恒成立,則實數(shù)a的取值范圍為 .
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【題目】已知曲線C:y2=2x﹣4.
(1)求曲線C在點A(3, )處的切線方程;
(2)過原點O作直線l與曲線C交于A,B兩不同點,求線段AB的中點M的軌跡方程.
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【題目】已知拋物線C1:x2=y,圓C2:x2+(y﹣4)2=1的圓心為點M
(1)求點M到拋物線C1的準線的距離;
(2)已知點P是拋物線C1上一點(異于原點),過點P作圓C2的兩條切線,交拋物線C1于A,B兩點,若過M,P兩點的直線l垂直于AB,求直線l的方程.
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【題目】設(shè)數(shù)列{an}的各項均為正數(shù).若對任意的n∈N* , 存在k∈N* , 使得an+k2=anan+2k成立,則稱數(shù)列{an}為“Jk型”數(shù)列.
(1)若數(shù)列{an}是“J2型”數(shù)列,且a2=8,a8=1,求a2n;
(2)若數(shù)列{an}既是“J3型”數(shù)列,又是“J4型”數(shù)列,證明:數(shù)列{an}是等比數(shù)列.
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【題目】如圖,已知四邊形是邊長為1的正方形,點、、、順次在邊、、、上,且.過點、、、分別作射線、、、,且,這里為定角,且,由此得到四邊形.
(1)問四邊形是怎樣的四邊形?證明你的結(jié)論.
(2)設(shè),試將表示成的函數(shù).
(3)是否存在,使為與無關(guān)的定值?若存在,求出相應(yīng)的的值;若不存在,說明理由.
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