Question

如圖，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，點D是棱AB的中點，．
（1）求異面直線AC₁，A₁B₁所成的角的大�。�
（2）求證：BC₁∥平面A₁DC．

Answer 1

解：（1）∵AB∥A₁B₁，
∴∠BAC₁即為異面直線AC₁，A₁B₁所成的角
在△BAC₁中，AB=1，AC₁=2，BC₁=2
∴
∴
即 異面直線AC₁，A₁B₁所成的角為；
（2）證明：連接AC₁交A₁C于點G，連接DG，
在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，四邊形ACC₁A₁是平行四邊形，
∴AC=GC₁，
∵AD=DB，
∴DG∥BC₁
∵DG?平面A₁DC，BC₁?平面A₁DC，
∴BC₁∥平面A₁DC．
分析：（1）利用正三棱柱中的平行關系，可知∠BAC₁即為異面直線AC₁，A₁B₁所成的角．在△BAC₁中，AB=1，AC₁=2，BC₁=2，利用余弦定理可求；
（2）連接AC₁交A₁C于點G，連接DG，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，四邊形ACC₁A₁是平行四邊形，則AC=GC₁，而AD=DB，則DG∥BC₁，DG?平面A₁DC，BC₁?平面A₁DC，根據(jù)線面平行的判定定理可知BC₁∥平面A₁DC．
點評：本題以正三棱柱為載體，主要考查了直線與平面平行的判定定理以及線面角的求法．涉及到的知識點比較多，知識性技巧性都很強．