Question

如圖，橢圓過點(diǎn)P(1, )，其左、右焦點(diǎn)分別為F₁,F₂,離心率e＝,M,N是直線x＝4上的兩個(gè)動點(diǎn)，且·＝0.

（1）求橢圓的方程；
（2）求|MN|的最小值；
（3）以MN為直徑的圓C是否過定點(diǎn)？請證明你的結(jié)論。

Answer 1

（1）＝1；（2）；（3）(4－，0)和(4＋，0)  .

試題分析：（1）因?yàn)椋?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824041019951567.png" style="vertical-align:middle;" />，且過點(diǎn)P(1, )，列出關(guān)于a，b的方程，解得a，b．最后寫出橢圓方程即可；（2）設(shè)點(diǎn)M（4，m），N（4，n）寫出向量的坐標(biāo)，利用向量的數(shù)量積得到mn=-15，又|MN|＝|m－n|＝|m|＋|n|＝|m|＋≥，結(jié)合基本不等式即可求得MN的最小值；
（3）利用圓心C的坐標(biāo)和半徑得出圓C的方程，再令y=0，得x2-8x+1=0從而得出圓C過定點(diǎn)．
試題解析：（1）由已知可得
∴橢圓的方程為＝1                  4分
（2）設(shè)M（4，m），N（4，n），∵F₁(－1，0)，F(xiàn)₂(1，0)
＝(5，m)，＝(3，n)，由＝0mn＝－15＜0  6分
∴|MN|＝|m－n|＝|m|＋|n|＝|m|＋≥2  ∴|MN|的最小值為2 10分
（3）以MN為直徑的圓C的方程為：(x－4)²＋(y－)＝()²  11分
令y＝0得(x－4)²＝－＝－mn＝15x＝4±
所以圓C過定點(diǎn)(4－，0)和(4＋，0)                      13分