Question

8．記g（a，b）=a$\sqrt$-$\frac{1}{4}$b（　　）

• A． 存在正實(shí)數(shù)b，使g（a，b）≥0對(duì)任意的實(shí)數(shù)a恒成立
• B． 不存在正實(shí)數(shù)b，使g（a，4）•g（a，b）≥0對(duì)任意的實(shí)數(shù)a恒成立
• C． 存在無數(shù)個(gè)實(shí)數(shù)a，使g（a，4）≥g（a，b）對(duì)任意的正實(shí)數(shù)b恒成立
• D． 有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)a，使g（a，4）≥g（a，b）對(duì)任意的正實(shí)數(shù)b恒成立

Answer 1

分析 根據(jù)g（a，b）=a$\sqrt$-$\frac{1}{4}$b，結(jié)合一元二次函數(shù)的性質(zhì)分別進(jìn)行判斷即可．

解答 解：A．存在正實(shí)數(shù)b，使g（a，b）≥0，
則a$\sqrt$-$\frac{1}{4}$b≥0，即$\frac{1}{4}$b-a$\sqrt$≤0，即b-4a$\sqrt$≤0，∵b是正實(shí)數(shù)，
∴不等式等價(jià)為$\sqrt$≤4a，則a≥$\frac{1}{4}$$\sqrt$，則并不是所有的實(shí)數(shù)a都成立，故A錯(cuò)誤，
B．由g（a，4）•g（a，b）≥0得（2a-1）（a$\sqrt$-$\frac{1}{4}$b）≥0，
當(dāng)b=4時(shí)，（2a-1）（2a-1）=（2a-1）²≥0恒成立，此時(shí)滿足條件，故B錯(cuò)誤，
C．由g（a，4）≥g（a，b）得2a-1≥a$\sqrt$-$\frac{1}{4}$b，即$\frac{1}{4}$b-a$\sqrt$+2a-1≥0恒成立，
則判別式△=a-4×$\frac{1}{4}$（2a-1）=a-2a+1=1-a，
當(dāng)判別式△=1-a≤0，即a≥1時(shí)，不等式g（a，4）≥g（a，b）對(duì)任意的正實(shí)數(shù)b恒成立，則C正確，D錯(cuò)誤，
故選：C

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查命題的真假判斷，根據(jù)g（a，b）的定義固定一個(gè)變量，轉(zhuǎn)化為一元二次函數(shù)是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，不太容易理解．