Question

1．如圖，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥平面ABC，BC⊥AC，BC=AC=2，AA₁=3D為AC的中點(diǎn)
（1）求證：AB₁∥面BDC₁；
（2）求幾何體B₁-BC₁D的體積．

Answer 1

分析 （1）連接B₁C，交BC₁于點(diǎn)O，則O為B₁C的中點(diǎn)，由三角形的中位線定理可得OD∥AB₁ ，再由線面平行的判定得答案；
（2）把幾何體B₁-BC₁D的體積轉(zhuǎn)化為三棱錐D-BB₁C₁的體積求解．

解答 （1）證明：連接B₁C，交BC₁于點(diǎn)O，則O為B₁C的中點(diǎn)，
∵D為AC中點(diǎn)，∴OD∥AB₁ ，
又∵AB₁?平面BDC₁，OD?平面BDC₁ ，
∴AB₁∥平面BDC₁；
（2）解：∵AA₁⊥平面ABC，
∴AA₁⊥AC，則CC₁⊥AC，又BC⊥AC，
且CC₁∩BC=C，∴AC⊥平面BCC₁B₁，
∵矩形BCC₁B₁的邊長BC=2，CC₁=3，
∴${S}_{△{B}_{1}{C}_{1}C}=\frac{1}{2}×2×3=3$，
又3D為AC的中點(diǎn)，
∴${V}_{{B}_{1}-B{C}_{1}D}={V}_{D-B{B}_{1}{C}_{1}}$=$\frac{1}{3}×{S}_{△{B}_{1}{C}_{1}C}×DC$=$\frac{1}{3}×3×1=1$．

點(diǎn)評 本題考查直線與平面平行的判定，考查三棱錐體積的求法，訓(xùn)練了等積法，是中檔題．