Question

已知函數(shù)f（x）=xe^-x+（x-2）e^x-a（e≈2.73）．
（Ⅰ）當a=2時，證明函數(shù)f（x）在R上是增函數(shù)；
（Ⅱ）若a＞2時，當x≥1時，f（x）≥

x2-2x+1

ex

恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）只需證明當a=2時f′（x）≥0恒成立即可；
（Ⅱ）當x≥1時，f（x）≥

x2-2x+1

ex

恒成立，即（x-2）e^2x-a-x²+3x-1≥0恒成立，設h（x）=（x-2）e^2x-a-x²+3x-1（x≥1），從而轉(zhuǎn)化為h（x）_min≥0即可，利用導數(shù)可求得h（x）_min，注意對a進行討論；

解答：解：（Ⅰ）當a=2時，f（x）=xe^-x+（x-2）e^x-2，f（x）的定義域為R，
f′（x）=e^-x-xe^-x+e^x-2+（x-2）e^x-2=（x-1）（e^x-2-e^-x）=e^-x（x-1）（e^x-1-1）（e^x-1+1）．
當x≥1時，x-1≥0，e^x-1-1≥0，所以f′（x）≥0，
當x＜1時，x-1＜0，e^x-1-1＜0，所以f′（x）≥0，
所以對任意實數(shù)x，f′（x）≥0，
所以f（x）在R上是增函數(shù)；  
（II）當x≥1時，f（x）≥

x2-2x+1

ex

恒成立，即（x-2）e^2x-a-x²+3x-1≥0恒成立，
設h（x）=（x-2）e^2x-a-x²+3x-1（x≥1），則h′（x）=（2x-3）（e^2x-a-1），
令h′（x）=（2x-3）（e^2x-a-1）=0，解得x1=

3

2

，x2=

a

2

，
（1）當1＜

a

2

＜

3

2

，即2＜a＜3時，

x	（1， a 2 ）	a 2	（ a 2 ， 3 2 ）	3 2	（ 3 2 ，+∞）
h′（x）	+	0	-	0	+
h（x）	單調(diào)遞增	極大值	單調(diào)遞減	極小值	單調(diào)遞增

所以要使結(jié)論成立，則h（1）=-e^2-a+1≥0，h（

3

2

）=-

1

2

e^3-a+

5

4

≥0，即e^2-a≤1，e^3-a≤

5

2

，
解得a≥2，a≥3-ln

5

2

，所以3-ln

5

2

≤a＜3；
（2）當

a

2

=

3

2

，即a=3時，h′（x）≥0恒成立，所以h（x）是增函數(shù)，又h（1）=-e^-1+1＞0，
故結(jié)論成立；                              
（3）當

a

2

＞

3

2

，即a＞3時，

x	（1， 3 2 ）	3 2	（ 3 2 ， a 2 ）	a 2	（ a 2 ，+∞）
h′（x）	+	0	-	0	+
h（x）	單調(diào)遞增	極大值	單調(diào)遞減	極小值	單調(diào)遞增

所以要使結(jié)論成立，
則h（1）=-e^2-a+1≥0，h（

a

2

）=-

a2

4

+2a-3≥0，即e^2-a≤1，a²-8a+12≤0，
解得a≥2，2≤a≤6，所以3＜a≤6；                              
綜上所述，若a＞2，當x≥1時，f（x）≥

x2-2x+1

ex

恒成立，實數(shù)a的取值范圍是3-ln

5

2

≤a≤6．                                                    …（12分）

點評：本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性、求函數(shù)最值問題，考查不等式恒成立問題，考查學生分類討論思想．