Question

某企業(yè)接到生產3000臺某產品的A，B，Ｃ三種部件的訂單，每臺產品需要這三種部件的數量分別為２,２,１（單位：件）.已知每個工人每天可生產Ａ部件６件，或Ｂ部件３件，或Ｃ部件２件.該企業(yè)計劃安排２００名工人分成三組分別生產這三種部件，生產Ｂ部件的人數與生產Ａ部件的人數成正比，比例系數為k（k為正整數）.
（１）設生產Ａ部件的人數為ｘ，分別寫出完成Ａ，Ｂ，Ｃ三種部件生產需要的時間；
（２）假設這三種部件的生產同時開工，試確定正整數k的值，使完成訂單任務的時間最短，并給出時間最短時具體的人數分組方案.

Answer 1

（1）
（2）
（3）當時完成訂單任務的時間最短，此時生產Ａ，Ｂ，Ｃ三種部件的人數分別為44,88,68

解：（Ⅰ）設完成A,B,C三種部件的生產任務需要的時間（單位：天）分別為由題設有
期中均為1到200之間的正整數.
（Ⅱ）完成訂單任務的時間為其定義域為
易知，為減函數，為增函數.注意到
于是
（1）當時， 此時
，
由函數的單調性知，當時取得最小值，解得
.由于
.
故當時完成訂單任務的時間最短，且最短時間為.
（2）當時， 由于為正整數，故，此時易知為增函數，則.
由函數的單調性知，當時取得最小值，解得.由于
此時完成訂單任務的最短時間大于.
（3）當時， 由于為正整數，故，此時由函數的單調性知，
當時取得最小值，解得.類似（1）的討論.此時
完成訂單任務的最短時間為，大于.
綜上所述，當時完成訂單任務的時間最短，此時生產Ａ，Ｂ，Ｃ三種部件的人數
分別為44,88,68.
【點評】本題為函數的應用題，考查分段函數、函數單調性、最值等，考查運算能力及用數學知識分析解決實際應用問題的能力.第一問建立函數模型；第二問利用單調性與最值來解決，體現分類討論思想